[Oppenheim et al., 1996, ex. 9.3] Considere o sinal
x(t)=e^-5 t u(t)+e^-beta t u(t)
cuja transformada de Laplace é denotada por X(s). Quais as restrições colocadas sobre a parte real e parte imaginária de beta para que a região de convergência de X(s) seja Re es>-3 ?

Passo 1

O sinal é x(t)=e{-5t}u(t)+e{-βt}u(t), e queremos que sua transformada de Laplace X(s) tenha região de convergência (ROC) Re(s)>−3. Isso envolve transformar cada termo e achar a interseção dos seus domínios de convergência.

Passo 2

Para e^{−5t}u(t) temos
Le^−5tu(t)=1s+5
que converge se Re(s+5)>0, ou seja
Re(s)>-5
Para e^{−βt}u(t) temos
Le^−βtu(t)=1s+β
que converge se Re(s+β)>0, ou seja
Re(s)>-Re(β)

Passo 3

A ROC total é a interseção dos dois meios-planos:
Re(s)>maxl(-5, -Re(β)r)
Como queremos que essa ROC seja exatamente Re(s)>−3, precisamos de
maxl(-5,-Re(β)r)=-3

Passo 4

Para que \max(-5, -Re(β)) valha −3, como −3>−5, deve ocorrer
-Re(β)=-3
ou seja
Re(β)=3

Passo 5

A parte imaginária de β não entra na condição de convergência (ela só desloca o pólo na direção imaginária), então Im(β) pode ser qualquer valor real.

Resposta

Re(β)=3 e Im(β) é livre (qualquer valor real).

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