[Oppenheim et al., 1996, ex. 9.3] Considere o sinal
cuja transformada de Laplace é denotada por
. Quais as restrições colocadas sobre a parte real e parte imaginária de
para que a região de convergência de
seja
?
Passo 1
O sinal é x(t)=e{-5t}u(t)+e{-βt}u(t), e queremos que sua transformada de Laplace X(s) tenha região de convergência (ROC) Re(s)>−3. Isso envolve transformar cada termo e achar a interseção dos seus domínios de convergência.
Passo 2
Para e^{−5t}u(t) temos
que converge se Re(s+5)>0, ou seja
Para e^{−βt}u(t) temos
que converge se Re(s+β)>0, ou seja
Passo 3
A ROC total é a interseção dos dois meios-planos:
Como queremos que essa ROC seja exatamente Re(s)>−3, precisamos de
Passo 4
Para que \max(-5, -Re(β)) valha −3, como −3>−5, deve ocorrer
ou seja
Passo 5
A parte imaginária de β não entra na condição de convergência (ela só desloca o pólo na direção imaginária), então Im(β) pode ser qualquer valor real.
Resposta
Re(β)=3 e Im(β) é livre (qualquer valor real).