Você tem em mãos um arame de comprimento
. Sua tarefa será construir um triângulo isósceles com este arame. Dentre todos os triângulos isósceles, mostre que o de maior área é o triângulo equilátero e determine a sua área em função de
.
Passo 1
O enunciado pede para, dado um arame de comprimento
, montar um triângulo isósceles cuja área seja máxima. Isso envolve otimização de área com restrição de perímetro fixo, usando fórmula de área de triângulo e derivadas.
Passo 2
Vamos chamar de
o comprimento de cada um dos dois lados iguais e de
a base do isósceles. A restrição do perímetro é
A altura
relativa à base
vale
e a área do triângulo é
Passo 3
Substituímos
em função de
usando
e então expressamos
também em função de
. Assim obtemos
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza
, derivamos
em relação a
, igualamos a zero e resolvemos. Isso leva a
ou seja, o triângulo ótimo é equilátero.
Passo 5
Com todos os lados iguais a
, a área máxima fica
Resposta
O triângulo isósceles de maior área é o equilátero e sua área máxima é
.