Você tem em mãos um arame de comprimento p. Sua tarefa será construir um triângulo isósceles com este arame. Dentre todos os triângulos isósceles, mostre que o de maior área é o triângulo equilátero e determine a sua área em função de p.

Passo 1

O enunciado pede para, dado um arame de comprimento p, montar um triângulo isósceles cuja área seja máxima. Isso envolve otimização de área com restrição de perímetro fixo, usando fórmula de área de triângulo e derivadas.

Passo 2

Vamos chamar de a o comprimento de cada um dos dois lados iguais e de b a base do isósceles. A restrição do perímetro é
2a + b = p
A altura h relativa à base b vale h = ,raiza^2 - (b/2)^2 e a área do triângulo é
A = b,h2

Passo 3

Substituímos a em função de b usando a = (p - b)/2 e então expressamos h também em função de b. Assim obtemos
A(b) = b2raizl(p - b2r)^2 - l(b2r)^2

Passo 4

Para encontrar o valor de b que maximiza A(b), derivamos A(b) em relação a b, igualamos a zero e resolvemos. Isso leva a
b = p3, a = p - b2 = p3,
ou seja, o triângulo ótimo é equilátero.

Passo 5

Com todos os lados iguais a p/3, a área máxima fica
Amax = raiz34l(p3r)^2 = p^2raiz336

Resposta

O triângulo isósceles de maior área é o equilátero e sua área máxima é p^2raiz336.

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