[Oppenheim et al., 1996, ex. 9.13] Seja
em que
e cuja transformada de Laplace de
é
Determine os valores das constantes
e
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar as constantes α e β de um sinal g(t)=x(t)+α x(-t), onde x(t)=β e^{-t}u(t), sabendo que a transformada de Laplace de g(t) é G(s)=s/(s^2−1) com região de convergência −1<Re{s}<1. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e igualar ao G(s) dado.
Passo 2
A gente expressa g(t) em duas partes: pra t≥0 temos g(t)=β e^{-t} (já que u(t)=1 e u(-t)=0) e pra t<0 temos g(t)=αβ e^{t} (já que u(-t)=1 e u(t)=0). A transformada de Laplace é a integral de g(t)e^{-st} de −∞ a ∞, que separa em duas integrais: de 0 a ∞ e de −∞ a 0.
Passo 3
Pra t≥0:
Passo 4
Pra t<0:
Passo 5
Somando as duas partes obtemos
Passo 6
Reescrevendo 1−s=−(s−1), isso vira
Passo 7
Como o enunciado diz que G(s)=s/(s^2-1), igualamos numeradores: β(1-α)s-β(1+α)=s. Isso gera o sistema
Passo 8
Da segunda equação vem 1+α=0, logo α=-1. Substituindo em β(1-α)=1 dá β(1-(-1))=β·2=1, então β=1/2.
Resposta
α = -1, β = 1/2