[Oppenheim et al., 1996, ex. 9.13] Seja
g(t)=x(t)+alpha x(-t)
em que
x(t)=beta e^-t u(t)
e cuja transformada de Laplace de g(t) é
G(s)=ss^2-1, -1
Determine os valores das constantes alpha e beta.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar as constantes α e β de um sinal g(t)=x(t)+α x(-t), onde x(t)=β e^{-t}u(t), sabendo que a transformada de Laplace de g(t) é G(s)=s/(s^2−1) com região de convergência −1<Re{s}<1. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e igualar ao G(s) dado.

Passo 2

A gente expressa g(t) em duas partes: pra t≥0 temos g(t)=β e^{-t} (já que u(t)=1 e u(-t)=0) e pra t<0 temos g(t)=αβ e^{t} (já que u(-t)=1 e u(t)=0). A transformada de Laplace é a integral de g(t)e^{-st} de −∞ a ∞, que separa em duas integrais: de 0 a ∞ e de −∞ a 0.

Passo 3

Pra t≥0:
Lβ e^-tu(t)=integral0^inftyβ e^-te^-stdt=βintegral0^inftye^-(s+1)tdt=βs+1,Res>-1

Passo 4

Pra t<0:
Lαβ e^tu(-t)=integral-infty^0αβ e^te^-stdt=αβintegral-infty^0e^(1-s)tdt=αβ1-s,Res<1

Passo 5

Somando as duas partes obtemos
G(s)=βs+1+αβ1-s

Passo 6

Reescrevendo 1−s=−(s−1), isso vira
G(s)=βs+1-αβs-1=β(1-α)s-β(1+α)s^2-1

Passo 7

Como o enunciado diz que G(s)=s/(s^2-1), igualamos numeradores: β(1-α)s-β(1+α)=s. Isso gera o sistema
β(1-α)=1,-β(1+α)=0

Passo 8

Da segunda equação vem 1+α=0, logo α=-1. Substituindo em β(1-α)=1 dá β(1-(-1))=β·2=1, então β=1/2.

Resposta

α = -1, β = 1/2

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