(OPTIONAL) Show that, for any real number
, there exists some
such that
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é mostrar que, para qualquer número real positivo $ x $, existe um número natural $ n $ tal que a soma $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} $ seja maior ou igual a $ x $. Vamos usar o conceito da série harmônica e entender que ela cresce sem limite conforme adicionamos mais termos.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber que a soma $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} $ é conhecida como a série harmônica. Essa série é famosa porque, apesar dos termos individuais ficarem menores, a soma total cresce sem parar à medida que $ n $ aumenta.
Passo 3
Para provar que essa soma pode ser maior ou igual a qualquer $ x $, vamos usar uma comparação com uma integral. Sabemos que:
Essa integral é fácil de calcular e nos dá uma ideia de como a soma se comporta.
Passo 4
Calculando a integral, temos:
Então, concluímos que:
Passo 5
Agora, queremos que essa soma seja pelo menos $ x $. Então, precisamos que:
Para encontrar $ n $, resolvemos essa desigualdade para $ n $.
Passo 6
Resolvendo a desigualdade:
Como $ n $ deve ser um número natural, escolhemos $ n $ como o menor inteiro maior ou igual a $ e^{x} - 1 $.
Passo 7
Assim, para qualquer $ x > 0 $, podemos escolher:
Onde $ \lceil \cdot \rceil $ representa o menor inteiro maior ou igual ao valor dentro. Com esse $ n $, garantimos que a soma $ 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} $ seja maior ou igual a $ x $.
Resposta
Portanto, para qualquer número real positivo $ x $, existe um número natural $ n $ tal que $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \geq x $.