(OPTIONAL) Show that, for any real number x>0, there exists some n in N such that
1+12+13+cdots+1n >= x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é mostrar que, para qualquer número real positivo $ x $, existe um número natural $ n $ tal que a soma $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} $ seja maior ou igual a $ x $. Vamos usar o conceito da série harmônica e entender que ela cresce sem limite conforme adicionamos mais termos.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber que a soma $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} $ é conhecida como a série harmônica. Essa série é famosa porque, apesar dos termos individuais ficarem menores, a soma total cresce sem parar à medida que $ n $ aumenta.

Passo 3

Para provar que essa soma pode ser maior ou igual a qualquer $ x $, vamos usar uma comparação com uma integral. Sabemos que:
x
Essa integral é fácil de calcular e nos dá uma ideia de como a soma se comporta.

Passo 4

Calculando a integral, temos:
integral1^n+1 1t , dt = ln(n+1) - ln(1) = ln(n+1)
Então, concluímos que:
sumk=1^n 1k >= ln(n+1)

Passo 5

Agora, queremos que essa soma seja pelo menos $ x $. Então, precisamos que:
x
Para encontrar $ n $, resolvemos essa desigualdade para $ n $.

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
ln(n+1) >= x implies n+1 >= e^x implies n >= e^x - 1
Como $ n $ deve ser um número natural, escolhemos $ n $ como o menor inteiro maior ou igual a $ e^{x} - 1 $.

Passo 7

Assim, para qualquer $ x > 0 $, podemos escolher:
x > 0
Onde $ \lceil \cdot \rceil $ representa o menor inteiro maior ou igual ao valor dentro. Com esse $ n $, garantimos que a soma $ 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} $ seja maior ou igual a $ x $.

Resposta

Portanto, para qualquer número real positivo $ x $, existe um número natural $ n $ tal que $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \geq x $.

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