Orbitais híbridos sp^2 orientados no plano xy podem ser descritos pelas seguintes funções de onda:
psi1=1raiz3(s+raiz2 px) psi2=1raiz3(s-1raiz2 px+raiz32 py) psi3=1raiz3(s-1raiz2 px-raiz32 py)
Determine o ângulo phi no qual o orbital híbrido psi2 tem sua amplitude máxima no plano xy.

Passo 1

Beleza, o exercício tá falando de orbitais híbridos sp² no plano xy, e te dá três funções de onda. A gente precisa achar para ψ₂ em que direção (ângulo φ no plano xy) a amplitude desse orbital é máxima.
Conteúdo: teoria de orbitais híbridos e como pₓ e p_y variam com o ângulo no plano (cosφ e sinφ).
O que vamos precisar:
  • Saber que o termo s é isotrópico (não depende de φ).
  • Entender que pₓ varia como cosφ e p_y varia como sinφ.
  • Fazer a combinação linear e achar o φ que maximiza essa combinação.

Passo 2

Primeiro, pega a parte que importa para a direção no plano xy dentro de ψ₂. Como s é constante em qualquer direção, só interessa a parte dos p’s:
psi2propto -tfrac1raiz2,px ;+;raiztfrac32,py
Se a gente olhar num vetor unitário fazendo ângulo φ com o eixo x, os p’s dão:
p_x → cosφ
p_y → sinφ
Então a amplitude angular é
f(φ)=-tfrac1raiz2cosφ ;+;raiztfrac32sinφ

Passo 3

Pra achar o máximo de f(φ), a gente faz derivada e zera:
$$f’(φ)= -\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)\sinφ ;+;\sqrt{\tfrac32}\cosφ
=\tfrac{1}{\sqrt2}\sinφ +\sqrt{\tfrac32}\cosφ =0. f'(φ)= -l(-tfrac1raiz2r)sinφ ;+;raiztfrac32cosφ =tfrac1raiz2sinφ +raiztfrac32cosφ =0\tanφ = -\frac{\sqrt{\tfrac32}}{\tfrac1{\sqrt2}}
=-\sqrt3. tanφ = -raiztfrac32tfrac1raiz2 =-raiz3çãéáºééáºφ = 180° - 60° = 120°.$$

Resposta

O ângulo φ de máxima amplitude para ψ₂ é 120°.

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