Uma casca cilindrica fina, muito longa, de raio
, tem uma densidade superficial de carga uniforme
. Determine o campo elétrico (a) em pontos fora da casca e (b) em pontos dentro da casca.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma casca cilíndrica muito longa e fininha, de raio
, com densidade superficial de carga uniforme
. Precisamos achar o campo elétrico
(a) fora da casca e (b) dentro dela. O conteúdo é eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss. Para resolver, vamos precisar:
- Entender a Lei de Gauss (
). - Escolher uma superfície gaussiana apropriada (um cilindro coaxial).
- Calcular a carga interna a essa superfície e relacionar com o fluxo.
Passo 2
Primeiro, relembra a Lei de Gauss:
A ideia é escolher um cilindro imaginário de comprimento
e raio
(mesma “linha” do nosso cilindro carregado). Como o problema é simétrico em torno do eixo, o campo
aponta radialmente e tem módulo constante na superfície lateral desse cilindro gaussiano.
Passo 3
Caso (a): ponto fora da casca, ou seja
.
- A superfície gaussiana (raio
, comprimento ) “abraça” toda a carga da casca no trecho de comprimento . - A carga interna é
- O fluxo
só vem da superfície lateral (nas tampas é perpendicular a ), valendo
- Aplicando Gauss:
e aponta radialmente para fora.
Passo 4
Caso (b): ponto dentro da casca,
.
- Agora nossa superfície gaussiana (raio
) não envolve nenhuma carga, porque toda a carga está sobre o cilindro de raio . - Logo,
Resposta
(a) Fora da casca (
):
(b) Dentro da casca (
):