Uma casca cilindrica fina, muito longa, de raio R, tem uma densidade superficial de carga uniforme sigma. Determine o campo elétrico (a) em pontos fora da casca e (b) em pontos dentro da casca.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma casca cilíndrica muito longa e fininha, de raio , com densidade superficial de carga uniforme . Precisamos achar o campo elétrico (a) fora da casca e (b) dentro dela. O conteúdo é eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss. Para resolver, vamos precisar:
  • Entender a Lei de Gauss ( ).
  • Escolher uma superfície gaussiana apropriada (um cilindro coaxial).
  • Calcular a carga interna a essa superfície e relacionar com o fluxo.

Passo 2

Primeiro, relembra a Lei de Gauss:
ointsuperf Ecdot dA = Qintvarepsilon0
A ideia é escolher um cilindro imaginário de comprimento e raio (mesma “linha” do nosso cilindro carregado). Como o problema é simétrico em torno do eixo, o campo aponta radialmente e tem módulo constante na superfície lateral desse cilindro gaussiano.

Passo 3

Caso (a): ponto fora da casca, ou seja Qint = sigma times (área da casca entre 0!<=!z!<=!L) = sigma , (2pi R L) .
  1. A superfície gaussiana (raio E(r),(2pi r L) , comprimento E(r),(2pi r L) = sigma,2pi R Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = sigma,Rvarepsilon0,r, ) “abraça” toda a carga da casca no trecho de comprimento .
  2. A carga interna é
á
  1. O fluxo só vem da superfície lateral (nas tampas é perpendicular a ), valendo
  1. Aplicando Gauss:
e aponta radialmente para fora.

Passo 4

Caso (b): ponto dentro da casca, Qint = 0 Longrightarrow oint Ecdot dA = 0 Longrightarrow E(r) = 0 .
  1. Agora nossa superfície gaussiana (raio ) não envolve nenhuma carga, porque toda a carga está sobre o cilindro de raio .
  2. Logo,

Resposta

(a) Fora da casca ( boxedE(r) = dfracsigma,Rvarepsilon0,r(radial, para fora) ):
boxedE(r) = 0
(b) Dentro da casca ( ):

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