USANDO DERIVADA PROVE QUE A FUNCÁO f(x)=x^{2} NÃO ADMITE INVERSA.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando derivada, que a função f(x)=x^{2} não admite inversa.
Informações dadas: a função é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^{2}.
Pergunta explícita: mostrar que não existe função inversa f^{-1} definida em todo o contradomínio (ou seja, f não é invertível como função de \mathbb{R} em \mathbb{R}).

Passo 2

O que significa “admitir inversa” em termos práticos: uma função admite inversa se, e somente se, for injetora (um-para-um). Injetora quer dizer que entradas distintas dão saídas distintas: se x_{1}\neq x_{2} então f(x_{1})\neq f(x_{2}).
Um caminho prático pelo cálculo: para funções diferenciáveis em intervalos, uma condição simples para garantir injetividade é a monotonicidade estrita — se f for estritamente crescente ou estritamente decrescente em todo \mathbb{R}, então ela é injetora e, portanto, admite inversa.
Logo, para provar que f não admite inversa basta mostrar que f não é monotona em \mathbb{R}. Vamos usar propriedades da derivada para testar monotonicidade.

Passo 3

Fato importante (teorema usado): se uma função g é diferenciável em um intervalo e g'(x)>0 para todo x nesse intervalo, então g é estritamente crescente nesse intervalo. Se g'(x)<0 para todo x então g é estritamente decrescente.
Explicação por que isso vale (resumo didático usando o Teorema do Valor Médio): para quaisquer a<b no intervalo, o Teorema do Valor Médio garante existência de c\in(a,b) tal que
g'\text{(c)}=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}.
Se g'(x)>0 em todo o intervalo então g'\text{(c)}>0, e como b-a>0 segue que g(b)-g(a)>0, ou seja g(b)>g(a). Isso é exatamente ser estritamente crescente. O caso g'<0 é análogo para estrita decrescência. Portanto, o sinal da derivada nos diz sobre monotonicidade.

Passo 4

Calculemos a derivada da função dada. Usando a regra da potência (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) temos
f'(x)=2x.
Explique o que isso significa: f'(x) é a inclinação da reta tangente em x. O sinal de f'(x) indica se a função localmente sobe ( f'>0) ou desce ( f'<0).

Passo 5

Analise o sinal de f'(x):
  • Para x<0 temos f'(x)=2x<0. Ou seja, à esquerda de zero a função está decrescendo.
  • Para x>0 temos f'(x)=2x>0. Ou seja, à direita de zero a função está crescendo.
  • Em x=0 temos f'(0)=0.
Como a derivada é negativa em todo (-\infty,0) e positiva em todo (0,\infty), o sinal da derivada muda em 0. Pelas observações do passo anterior, isso mostra que f não pode ser estritamente crescente nem estritamente decrescente em todo \mathbb{R}. Logo, f não é monotona em \mathbb{R}.

Passo 6

Conseqüência direta: como f não é monotona em \mathbb{R}, ela não é injetora em \mathbb{R} e, portanto, não admite inversa definida em todo \mathbb{R}. Para ver concretamente a falha de injetividade, note o exemplo simples (apenas para ilustrar): f(1)=1^{2}=1 e f(-1)=(-1)^{2}=1, ou seja, entradas diferentes dão a mesma saída. (Esse exemplo é complemento, mas a prova principal usou a derivada e monotonicidade.)

Resposta

A função f(x)=x^{2} não é monotona em \mathbb{R} (pois f'(x)=2x muda de sinal em 0), logo não é injetora e não admite inversa em \mathbb{R}.

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