USANDO DERIVADA PROVE QUE A FUNCÁO
NÃO ADMITE INVERSA.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando derivada, que a função
não admite inversa.
Informações dadas: a função é definida por
.
Pergunta explícita: mostrar que não existe função inversa definida em todo o contradomínio (ou seja,
não é invertível como função de
em
).
Informações dadas: a função é
Pergunta explícita: mostrar que não existe função inversa
Passo 2
O que significa “admitir inversa” em termos práticos: uma função admite inversa se, e somente se, for injetora (um-para-um). Injetora quer dizer que entradas distintas dão saídas distintas: se
então
.
Um caminho prático pelo cálculo: para funções diferenciáveis em intervalos, uma condição simples para garantir injetividade é a monotonicidade estrita — se for estritamente crescente ou estritamente decrescente em todo
, então ela é injetora e, portanto, admite inversa.
Logo, para provar que não admite inversa basta mostrar que
não é monotona em
. Vamos usar propriedades da derivada para testar monotonicidade.
Um caminho prático pelo cálculo: para funções diferenciáveis em intervalos, uma condição simples para garantir injetividade é a monotonicidade estrita — se
Logo, para provar que
Passo 3
Fato importante (teorema usado): se uma função
é diferenciável em um intervalo e
para todo
nesse intervalo, então
é estritamente crescente nesse intervalo. Se
para todo
então
é estritamente decrescente.
Explicação por que isso vale (resumo didático usando o Teorema do Valor Médio): para quaisquer no intervalo, o Teorema do Valor Médio garante existência de
tal que
Explicação por que isso vale (resumo didático usando o Teorema do Valor Médio): para quaisquer
Se
em todo o intervalo então
, e como
segue que
, ou seja
. Isso é exatamente ser estritamente crescente. O caso
é análogo para estrita decrescência. Portanto, o sinal da derivada nos diz sobre monotonicidade.
Passo 4
Calculemos a derivada da função dada. Usando a regra da potência (derivada de
é
) temos
Explique o que isso significa:
é a inclinação da reta tangente em
. O sinal de
indica se a função localmente sobe (
) ou desce (
).
Passo 5
Analise o sinal de
:
- Para
temos . Ou seja, à esquerda de zero a função está decrescendo. - Para
temos . Ou seja, à direita de zero a função está crescendo. - Em
temos .
Como a derivada é negativa em todo
e positiva em todo
, o sinal da derivada muda em
. Pelas observações do passo anterior, isso mostra que
não pode ser estritamente crescente nem estritamente decrescente em todo
. Logo,
não é monotona em
.
Passo 6
Conseqüência direta: como
não é monotona em
, ela não é injetora em
e, portanto, não admite inversa definida em todo
. Para ver concretamente a falha de injetividade, note o exemplo simples (apenas para ilustrar):
e
, ou seja, entradas diferentes dão a mesma saída. (Esse exemplo é complemento, mas a prova principal usou a derivada e monotonicidade.)
Resposta
A função
não é monotona em
(pois
muda de sinal em
), logo não é injetora e não admite inversa em
.