Determine o valor esperado do inverso da distância ao núcleo para o elétron em um orbital
. Use a expressão do orbital abaixo (com o harmônico esférico normalizado separadamente da parte radial). (2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor esperado do inverso da distância ao núcleo para o elétron no orbital
. Ou seja, queremos
As informações dadas são:
e o enunciado informa que o harmônico esférico
está normalizado separadamente (ou seja
). Não há outras incógnitas nem parâmetros além de
(o raio de Bohr).
Passo 2
Escrevo a expressão geral do valor esperado e uso a separação radial-angular. Por definição,
Em coordenadas esféricas
e, com
, temos
Como
está normalizado,
. Logo a integral angular é 1 e sobra apenas a integral radial:
Aqui a parte radial
é a que aparece no enunciado:
Passo 3
Calculo
. O fator pré-exponencial ao quadrado é
E
Substituindo na integral radial:
Passo 4
Faço a mudança de variável para simplificar a integral. Seja
. Então
e
. Assim
A integral
é a função Gamma
, e
. Logo
Passo 5
Substituo esse resultado na expressão para
:
Uma checagem rápida: para hidrogênio com
a fórmula conhecida
(com
) dá
, então o resultado faz sentido físico.