囲 O organizador de um evento esportivo estima que, se começar a anunciar o evento com
dias de antecedência, a receita obtida será
mil reais, em que
O custo para anunciar o evento durante
dias é
mil reais, em que
a) Determine a função lucro
e esboce a curva associada em um recurso computacional de sua escolha.
b) Com que antecedência o evento deve ser anunciado para que o lucro seja máximo? Qual é o lucro máximo?
c) Qual é a razão entre receita e custo
$$
Q(x)=\frac{R(x)}{C(x)}$$
para a antecedência ótima calculada no item anterior? O que acontece com a razão quanto
. Interprete.
b) Com que antecedência o evento deve ser anunciado para que o lucro seja máximo? Qual é o lucro máximo?
c) Qual é a razão entre receita e custo
para a antecedência ótima calculada no item anterior? O que acontece com a razão quanto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem duas funções que representam:
- Receita (
): Quanto de dinheiro o evento vai trazer, dependendo de quantos dias ( ) a gente começa a anunciar. - Custo (
): Quanto custa para anunciar o evento durante esses dias.
A matéria envolvida aqui é de funções polinomiais e lucro, que é basicamente a diferença entre receita e custo. Vamos precisar manipular essas funções para encontrar o lucro e resolver os itens pedidos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): Determinar a função lucro
.
Temos as funções:
Então, o lucro é:
Substituindo as funções:
Vamos simplificar isso.
Passo 3
Simplificando a expressão:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
- Os termos constantes:
- Os termos com
: - Os termos com
:
Então, a função lucro fica:
Passo 4
Agora, precisamos esboçar a curva dessa função lucro
. Para isso, podemos usar qualquer software ou ferramenta de plotagem, como o Desmos, GeoGebra ou até o Excel.
Aqui está um esboço básico da parábola:
- O coeficiente de
é negativo ( ), então a parábola abre para baixo. - Isso indica que existe um ponto máximo para o lucro.
Passo 5
Passando para a parte b): Encontrar com que antecedência (
) o evento deve ser anunciado para que o lucro seja máximo e qual é esse lucro máximo.
Para encontrar o máximo de uma função quadrática
, usamos a fórmula do vértice:
No nosso caso:
Então:
Isso significa que o lucro máximo ocorre quando anunciamos o evento com 20 dias de antecedência.
Passo 6
Agora, vamos calcular o lucro máximo substituindo
na função
:
Então, o lucro máximo é de 1300 mil reais.
Passo 7
Finalmente, na parte c), vamos encontrar a razão entre receita e custo na antecedência ótima (quando
):
Primeiro, calculamos
e
:
Para
:
Para
:
Agora, a razão:
Então, a razão entre receita e custo na antecedência ótima é aproximadamente 2,18.
Quando
, vamos analisar o que acontece com
:
-
(pois está indo para 0) -
Então:
Interpretação: Quando não anunciamos o evento com antecedência (ou seja,
próximo a 0), a receita é menor comparada ao custo, resultando em uma razão menor. Isso indica que anunciar com mais antecedência aumenta a eficiência da receita em relação ao custo.
Resposta
a) A função lucro é
.
b) O lucro máximo ocorre anunciando o evento com 20 dias de antecedência, e o lucro máximo é de 1300 mil reais.
c) A razão
. Quando
, a razão aproxima-se de 1,33, indicando que sem antecedência, a receita é menor em relação ao custo.