囲 O organizador de um evento esportivo estima que, se começar a anunciar o evento com x dias de antecedência, a receita obtida será R(x) mil reais, em que
R(x)=400+120 x-x^2
O custo para anunciar o evento durante x dias é C(x) mil reais, em que
C(x)=2 x^2+300
a) Determine a função lucro L(x)=R(x)-C(x) e esboce a curva associada em um recurso computacional de sua escolha.
b) Com que antecedência o evento deve ser anunciado para que o lucro seja máximo? Qual é o lucro máximo?
c) Qual é a razão entre receita e custo
$$
Q(x)=\frac{R(x)}{C(x)}$$
para a antecedência ótima calculada no item anterior? O que acontece com a razão quanto Q(x)=R(x)C(x). Interprete.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem duas funções que representam:
  • Receita ( R(x)): Quanto de dinheiro o evento vai trazer, dependendo de quantos dias ( x) a gente começa a anunciar.
  • Custo ( C(x)): Quanto custa para anunciar o evento durante esses x dias.
A matéria envolvida aqui é de funções polinomiais e lucro, que é basicamente a diferença entre receita e custo. Vamos precisar manipular essas funções para encontrar o lucro e resolver os itens pedidos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Determinar a função lucro L(x) = R(x) - C(x).
Temos as funções:
R(x) = 400 + 120x - x^2
C(x) = 2x^2 + 300
Então, o lucro é:
L(x) = R(x) - C(x)
Substituindo as funções:
L(x) = (400 + 120x - x^2) - (2x^2 + 300)
Vamos simplificar isso.

Passo 3

Simplificando a expressão:
L(x) = 400 + 120x - x^2 - 2x^2 - 300
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
  • Os termos constantes: 400 - 300 = 100
  • Os termos com x: 120x
  • Os termos com x^2: -x^2 - 2x^2 = -3x^2
Então, a função lucro fica:
L(x) = -3x^2 + 120x + 100

Passo 4

Agora, precisamos esboçar a curva dessa função lucro L(x) = -3x^2 + 120x + 100. Para isso, podemos usar qualquer software ou ferramenta de plotagem, como o Desmos, GeoGebra ou até o Excel.
Aqui está um esboço básico da parábola:
  • O coeficiente de x^2 é negativo ( -3), então a parábola abre para baixo.
  • Isso indica que existe um ponto máximo para o lucro.

Passo 5

Passando para a parte b): Encontrar com que antecedência ( x) o evento deve ser anunciado para que o lucro seja máximo e qual é esse lucro máximo.
Para encontrar o máximo de uma função quadrática L(x) = ax^2 + bx + c, usamos a fórmula do vértice:
x = -b2a
No nosso caso:
  • a = -3
  • b = 120
Então:
x = -1202 times (-3) = -120-6 = 20
Isso significa que o lucro máximo ocorre quando anunciamos o evento com 20 dias de antecedência.

Passo 6

Agora, vamos calcular o lucro máximo substituindo x = 20 na função L(x):
L(20) = -3(20)^2 + 120(20) + 100
L(20) = -3(400) + 2400 + 100
L(20) = -1200 + 2400 + 100
L(20) = 1300
Então, o lucro máximo é de 1300 mil reais.

Passo 7

Finalmente, na parte c), vamos encontrar a razão entre receita e custo na antecedência ótima (quando x = 20):
Q(x) = R(x)C(x)
Primeiro, calculamos R(20) e C(20):
Para R(20):
R(20) = 400 + 120(20) - (20)^2
R(20) = 400 + 2400 - 400
R(20) = 2400
Para C(20):
C(20) = 2(20)^2 + 300
C(20) = 2(400) + 300
C(20) = 800 + 300
C(20) = 1100
Agora, a razão:
Q(20) = 24001100 approx 2,18
Então, a razão entre receita e custo na antecedência ótima é aproximadamente 2,18.
Quando x 0, vamos analisar o que acontece com Q(x):
  • R(x) = 400 + 120x - x^2 400 (pois x está indo para 0)
  • C(x) = 2x^2 + 300 300
Então:
Q(x) = 400300 approx 1,33
Interpretação: Quando não anunciamos o evento com antecedência (ou seja, x próximo a 0), a receita é menor comparada ao custo, resultando em uma razão menor. Isso indica que anunciar com mais antecedência aumenta a eficiência da receita em relação ao custo.

Resposta

a) A função lucro é L(x) = -3x^2 + 120x + 100.
b) O lucro máximo ocorre anunciando o evento com 20 dias de antecedência, e o lucro máximo é de 1300 mil reais.
c) A razão Q(20) approx 2,18. Quando x 0, a razão aproxima-se de 1,33, indicando que sem antecedência, a receita é menor em relação ao custo.

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