Resolva o seguinte problema misto:
onde
para qualquer
. Qual seria a solução para
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que envolve uma equação de onda, que é um tipo de equação diferencial parcial. O enunciado nos dá condições iniciais e de contorno, e queremos encontrar a solução para quando
. Para isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Essa é a equação da onda, onde
representa a deslocação em função do espaço
e do tempo
. O subscrito
indica a segunda derivada em relação ao tempo, e
a segunda derivada em relação ao espaço.
Passo 3
As condições iniciais são:
Isso significa que, no tempo inicial
, a deslocação é uma função seno de
com amplitude 4, e a velocidade inicial (
) é zero.
Passo 4
As condições de contorno são:
Isso indica que nas extremidades do intervalo
, a deslocação é sempre zero para qualquer tempo
. Essas são condições de contorno de Dirichlet homogêneas.
Passo 5
Para resolver a equação, usamos a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como
. Substituindo na equação da onda, temos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 6
Isso nos leva a duas equações ordinárias:
As soluções dessas equações dependem dos valores de
. Como temos condições de contorno homogêneas, buscamos soluções harmônicas.
Passo 7
As soluções para
que satisfazem
são funções senoidais. Assim, temos:
E os valores próprios correspondentes são:
Passo 8
Com os valores de
, a solução geral da equação da onda é uma soma infinita das soluções nos modos normais:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos a partir das condições iniciais.
Passo 9
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Como
, isso implica que todos os
. Então, a solução simplifica para:
Passo 10
Usamos agora a condição
. Comparando com a série, vemos que somente o termo com
coincide com a forma
, pois:
Então, todos os
para
e
.
Passo 11
Portanto, a solução reduzida para
é:
Resposta
A solução para
é: