Resolva o seguinte problema misto:
& utt-9 uxx=0, x in(0,3), t>0 & u(x, 0)=4 sin omega0 x, ut(x, 0)=0, x in(0,3) & u(0, t)=u(3, t)=0, t in R+
onde omega0 not equiv n pi / 3 para qualquer n in N. Qual seria a solução para omega0 equiv pi ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que envolve uma equação de onda, que é um tipo de equação diferencial parcial. O enunciado nos dá condições iniciais e de contorno, e queremos encontrar a solução para quando . Para isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
utt - 9 uxx = 0
Essa é a equação da onda, onde representa a deslocação em função do espaço e do tempo . O subscrito indica a segunda derivada em relação ao tempo, e a segunda derivada em relação ao espaço.

Passo 3

As condições iniciais são:
u(x, 0) = 4 sin(omega0 x)
ut(x, 0) = 0
Isso significa que, no tempo inicial , a deslocação é uma função seno de com amplitude 4, e a velocidade inicial ( ) é zero.

Passo 4

As condições de contorno são:
u(0, t) = u(3, t) = 0
Isso indica que nas extremidades do intervalo , a deslocação é sempre zero para qualquer tempo . Essas são condições de contorno de Dirichlet homogêneas.

Passo 5

Para resolver a equação, usamos a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como X(x)T''(t) - 9 X''(x)T(t) = 0 . Substituindo na equação da onda, temos:
T''(t)T(t) = 9 X''(x)X(x) = -lambda
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 6

Isso nos leva a duas equações ordinárias:
T''(t) + lambda T(t) = 0
X''(x) + lambda9 X(x) = 0
As soluções dessas equações dependem dos valores de . Como temos condições de contorno homogêneas, buscamos soluções harmônicas.

Passo 7

As soluções para Xn(x) = sin(npi3x), n = 1, 2, 3, ldots que satisfazem lambdan = (npi3)^2 times 9 = n^2 pi^2 são funções senoidais. Assim, temos:
E os valores próprios correspondentes são:

Passo 8

Com os valores de u(x, t) = sumn=1^infty [An cos(npi t) + Bn sin(npi t)] sin(npi3x) , a solução geral da equação da onda é uma soma infinita das soluções nos modos normais:
Aqui, e são constantes que determinaremos a partir das condições iniciais.

Passo 9

Aplicamos as condições iniciais para encontrar u(x, t) = sumn=1^infty An cos(npi t) sin(npi3x) e . Como , isso implica que todos os . Então, a solução simplifica para:

Passo 10

Usamos agora a condição 3pi3x = pi x . Comparando com a série, vemos que somente o termo com coincide com a forma , pois:
Então, todos os para e .

Passo 11

Portanto, a solução reduzida para u(x, t) = 4 cos(3pi t) sin(pi x) é:

Resposta

A solução para u(x, t) = 4 cos(3pi t) sin(pi x) é:

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