Para a distribuição abaixo calcular D_{2}, P_{4} Q_{3}.
a)
Classes 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
Fi 3 8 18 22 24

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular D_{2}, P_{4} e Q_{3} para a distribuição de frequências dada.
Informações fornecidas (copiadas da tabela do enunciado):
As classes e suas frequências absolutas F_i são
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Classes} & 20-30 & 30-40 & 40-50 & 50-60 & 60-70\\hline F_i & 3 & 8 & 18 & 22 & 24 \end{array}
Vou usar essas informações sem pedir nada a mais.

Passo 2

Vamos explicar a ideia e a fórmula que vamos usar (isso é importante para você entender e aplicar na prova). Para quantis (percentis, decis, quartis) em dados agrupados por classe usamos interpolação linear dentro da classe que contém o quantil. A fórmula geral para o k-ésimo percentil P_k (ou para um decil/quartil correspondente) é
P_k = L + \frac{\left(\dfrac{k}{100}N - F_{\text{ac,ant}}\right)}{f_{\text{cl}}}\cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe que contém o quantil (vamos usar o limite inferior da classe tal como dado, assumindo classes contíguas e amplitude inteira);
  • N é o total de observações;
  • \dfrac{k}{100}N é a posição do quantil (por exemplo, para D_{2} usamos k=20);
  • F_{\text{ac,ant}} é a frequência acumulada até a classe anterior (ou seja, soma das frequências de todas as classes estritamente menores);
  • f_{\text{cl}} é a frequência da própria classe (a classe que contém o quantil);
  • h é a amplitude (largura) da classe (diferença entre limite superior e inferior).
Motivação curta: assumimos que, dentro da classe escolhida, os dados estão distribuídos uniformemente, então interpolamos linearmente a partir do começo da classe para atingir a posição desejada.

Passo 3

Calcular N e as frequências acumuladas (vou fazer passo a passo para você conseguir repetir):
Somando as frequências:
N = 3 + 8 + 18 + 22 + 24 = 75.
Frequência acumulada até cada classe (vou chamar F_{\text{ac}} a acumulada após a classe):
  • Após a classe 20\!-\!30: F_{\text{ac}}=3.
  • Após a classe 30\!-\!40: F_{\text{ac}}=3+8=11.
  • Após a classe 40\!-\!50: F_{\text{ac}}=11+18=29.
  • Após a classe 50\!-\!60: F_{\text{ac}}=29+22=51.
  • Após a classe 60\!-\!70: F_{\text{ac}}=51+24=75.
A amplitude de cada classe é (por inspeção) h=10 (por exemplo 30-20=10). Vou usar o limite inferior da classe como L (por exemplo para a classe 40-50, L=40).

Passo 4

Calcular D_{2}. Lembrete: o decil D_{2} corresponde ao percentil k=20 (ou seja, 20\%).
  1. posição desejada:
\dfrac{20}{100}N = 0,2\cdot 75 = 15.
  1. localizar a classe que contém a 15ª observação: olhar as acumuladas: 11 (após 30-40) e 29 (após 40-50). Como 11<15\le 29, a 15ª observação está na classe 40-50. Portanto:
  • L=40,
  • F_{\text{ac,ant}}=11 (acumulada antes da classe 40-50),
  • f_{\text{cl}}=18,
  • h=10.
  1. aplicar a fórmula (vou mostrar todas as contas):
D_{2}=40+\frac{(15-11)}{18}\cdot 10.
Calcule o numerador e a multiplicação:
15-11=4,\qquad \frac{4}{18}=\frac{2}{9}\approx 0,222\ldots
\frac{4}{18}\cdot 10 = \frac{40}{18} \approx 2,222\ldots
Portanto
D_{2} \approx 40 + 2,222\ldots = 42,222\ldots
Arredondando para duas casas decimais: D_{2}\approx 42,22.

Passo 5

Calcular P_{4}. Aqui P_{4} é o percentil k=4 (ou seja, 4\%).
  1. posição desejada:
\dfrac{4}{100}N = 0,04\cdot 75 = 3.
  1. localizar a classe que contém a 3ª observação: a acumulada após a primeira classe é 3. Pelo critério usual, a posição 3 está na primeira classe 20-30 (ou seja, 0<3\le 3). Então:
  • L=20,
  • F_{\text{ac,ant}}=0 (não há classe anterior),
  • f_{\text{cl}}=3,
  • h=10.
  1. aplicar a fórmula:
P_{4}=20+\frac{(3-0)}{3}\cdot 10 = 20 + \frac{3}{3}\cdot 10 = 20 + 1\cdot 10 = 30.
Logo P_{4}=30. (Interpretação: o 4º percentil fica exatamente no limite superior da primeira classe neste conjunto.)

Passo 6

Calcular Q_{3}. O terceiro quartil Q_{3} corresponde ao percentil k=75 (ou seja, 75\%).
  1. posição desejada:
\dfrac{75}{100}N = 0,75\cdot 75 = 56,25.
  1. localizar a classe que contém a 56,25ª observação: acumuladas mostram 51 (após 50-60) e 75 (após 60-70), logo 51<56,25\le 75. A classe é 60-70. Assim:
  • L=60,
  • F_{\text{ac,ant}}=51,
  • f_{\text{cl}}=24,
  • h=10.
  1. aplicar a fórmula e detalhar as contas:
Q_{3}=60+\frac{(56,25-51)}{24}\cdot 10.
Calcule a diferença:
56,25-51 = 5,25.
\frac{5,25}{24} \approx 0,21875.
0,21875\cdot 10 = 2,1875.
Logo
Q_{3} \approx 60 + 2,1875 = 62,1875.
Arredondando para duas casas decimais: Q_{3}\approx 62,19.

Resposta

D_{2}\approx 42,22
P_{4}=30
Q_{3}\approx 62,19

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