Para a distribuição abaixo calcular
.
a)
Classes
Fi
3
8
18
22
24
a)
| Classes |
|
|
|
|
|
| Fi | 3 | 8 | 18 | 22 | 24 |
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
,
e
para a distribuição de frequências dada.
Informações fornecidas (copiadas da tabela do enunciado):
As classes e suas frequências absolutas são
Informações fornecidas (copiadas da tabela do enunciado):
As classes e suas frequências absolutas
Vou usar essas informações sem pedir nada a mais.
Passo 2
Vamos explicar a ideia e a fórmula que vamos usar (isso é importante para você entender e aplicar na prova). Para quantis (percentis, decis, quartis) em dados agrupados por classe usamos interpolação linear dentro da classe que contém o quantil. A fórmula geral para o
-ésimo percentil
(ou para um decil/quartil correspondente) é
onde:
-
é o limite inferior da classe que contém o quantil (vamos usar o limite inferior da classe tal como dado, assumindo classes contíguas e amplitude inteira); -
é o total de observações; -
é a posição do quantil (por exemplo, para usamos ); -
é a frequência acumulada até a classe anterior (ou seja, soma das frequências de todas as classes estritamente menores); -
é a frequência da própria classe (a classe que contém o quantil); -
é a amplitude (largura) da classe (diferença entre limite superior e inferior).
Motivação curta: assumimos que, dentro da classe escolhida, os dados estão distribuídos uniformemente, então interpolamos linearmente a partir do começo da classe para atingir a posição desejada.
Passo 3
Calcular
e as frequências acumuladas (vou fazer passo a passo para você conseguir repetir):
Somando as frequências:
Frequência acumulada até cada classe (vou chamar
a acumulada após a classe):
- Após a classe
: . - Após a classe
: . - Após a classe
: . - Após a classe
: . - Após a classe
: .
A amplitude de cada classe é (por inspeção)
(por exemplo
). Vou usar o limite inferior da classe como
(por exemplo para a classe
,
).
Passo 4
Calcular
. Lembrete: o decil
corresponde ao percentil
(ou seja,
).
- posição desejada:
- localizar a classe que contém a 15ª observação: olhar as acumuladas:
(após ) e (após ). Como , a 15ª observação está na classe . Portanto:
-
, -
(acumulada antes da classe ), -
, -
.
- aplicar a fórmula (vou mostrar todas as contas):
Calcule o numerador e a multiplicação:
Portanto
Arredondando para duas casas decimais:
.
Passo 5
Calcular
. Aqui
é o percentil
(ou seja,
).
- posição desejada:
- localizar a classe que contém a 3ª observação: a acumulada após a primeira classe é
. Pelo critério usual, a posição está na primeira classe (ou seja, ). Então:
-
, -
(não há classe anterior), -
, -
.
- aplicar a fórmula:
Logo
. (Interpretação: o 4º percentil fica exatamente no limite superior da primeira classe neste conjunto.)
Passo 6
Calcular
. O terceiro quartil
corresponde ao percentil
(ou seja,
).
- posição desejada:
- localizar a classe que contém a 56,25ª observação: acumuladas mostram
(após ) e (após ), logo . A classe é . Assim:
-
, -
, -
, -
.
- aplicar a fórmula e detalhar as contas:
Calcule a diferença:
Logo
Arredondando para duas casas decimais:
.