O Oscilador Amortecido:
(a) Adicione uma força de arrasto, F_{\text {amort }}=-b v, à força restauradora da mola.
(b) Aplique a 2^{\mathrm{a}} Lei de Newton para derivar a equação diferencial do oscilador amortecido.
(c) A solução tem a forma x(t)=A_{0} e^{-\gamma t} \cos \left(\omega^{\prime} t+\varphi\right). Qual termo causa o decaimento da amplitude? Como você descreveria os três regimes de amortecimento?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) adicionar uma força de arrasto F_{\text{amort}}=-b v à força restauradora da mola;
(b) aplicar a 2ª Lei de Newton para obter a equação diferencial do oscilador amortecido;
(c) a solução tem a forma x(t)=A_{0} e^{-\gamma t} \cos \left(\omega' t+\varphi\right): identificar qual termo causa o decaimento da amplitude e descrever os três regimes de amortecimento.
Informações relevantes dadas (e convenções que usarei):
\,x(t) é o deslocamento da massa ao longo do tempo, v=\dot x(t) é a velocidade, m é a massa, k é a constante da mola, b é o coeficiente de arrasto (amortecimento). A força restauradora da mola é a força elástica usual -k x. A força de arrasto é proporcional e oposta à velocidade: F_{\text{amort}}=-b v=-b\dot x.

Passo 2

(a) Adição da força de arrasto — detalhe físico e sinal:
A mola exerce uma força restauradora que tende a puxar a massa de volta para x=0; por convenção essa força é
F_{\text{mola}}=-k x.
A força de arrasto (amortecedora) dada no enunciado é
F_{\text{amort}}=-b v = -b \dot x,
onde b>0 e o sinal negativo indica que a força está sempre oposta ao sentido da velocidade (dissipa energia). Somando as duas forças (considerando apenas estas duas forças atuando), a força total sobre a massa é
F_{\text{total}} = F_{\text{mola}} + F_{\text{amort}} = -k x - b \dot x.
Isso responde a parte (a): a força adicionada é F_{\text{amort}}=-b\dot x e a força resultante é -k x - b\dot x.

Passo 3

(b) Aplicando a 2ª Lei de Newton passo a passo:
A 2ª Lei de Newton diz que a massa vezes a aceleração é igual à força resultante:
m \, a = F_{\text{total}}.
Como a=\ddot x e F_{\text{total}}=-k x - b\dot x, temos
m \ddot x = -b \dot x - k x.
Rearranjando para a forma padrão de uma equação diferencial linear de 2ª ordem:
m \ddot x + b \dot x + k x = 0.
Esta é a equação diferencial do oscilador amortecido (homogênea, coeficientes constantes). Ela incorpora a mola (termo k x) e o arrasto linear (termo b\dot x).

Passo 4

Como resolver essa equação — método e raciocínio:
A equação
m \ddot x + b \dot x + k x = 0
é linear, homogênea, com coeficientes constantes. O método padrão é tentar uma solução exponencial do tipo
x(t)=e^{r t},
onde r é um número (possivelmente complexo). Substituindo na equação obtemos a equação característica (polinomial):
m r^{2} + b r + k = 0.
Resolver essa quadrática nos dá os dois valores de r que determinam o comportamento geral da solução.

Passo 5

Resolvendo a equação característica e definindo constantes úteis:
A solução da quadrática é
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 m k}}{2 m}.
É conveniente introduzir duas quantidades frequentemente usadas:
\gamma \equiv \frac{b}{2 m}, \qquad \omega_{0} \equiv \sqrt{\frac{k}{m}}.
Em termos de \gamma e \omega_{0} a fórmula dos raízes fica mais clara. Primeiro escrevemos o discriminante:
\left(\frac{b}{2m}\right)^{2} - \frac{k}{m} = \gamma^{2} - \omega_{0}^{2}.
Portanto as raízes são
r = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2} - \omega_{0}^{2}}.
O sinal do termo dentro da raiz ( \gamma^{2}-\omega_{0}^{2}) determina o tipo de solução — se as raízes são complexas, repetidas ou reais distintas — e é daí que surgem os três regimes de amortecimento.

Passo 6

Derivando a forma dada da solução para o caso subamortecido (passo para chegar à fórmula do enunciado):
Se \gamma < \omega_{0} então \gamma^{2}-\omega_{0}^{2}<0 e as raízes são complexas conjugadas:
r = -\gamma \pm i \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}}.
Definimos a frequência angular amortecida
\omega' \equiv \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}}.
A solução geral real, obtida combinando as exponenciais complexas, é
x(t) = e^{-\gamma t}\big(C_{1}\cos(\omega' t) + C_{2}\sin(\omega' t)\big).
Essa forma pode ser reescrita (usando identidade trigonométrica de fase) como
x(t)=A_{0} e^{-\gamma t} \cos\big(\omega' t + \varphi\big),
que é exatamente a forma dada no enunciado. Aqui A_{0} e \varphi são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Qual termo causa o decaimento da amplitude?
Na forma x(t)=A_{0} e^{-\gamma t} \cos(\omega' t + \varphi), o fator que multiplica a oscilação periódica é e^{-\gamma t}. Esse é um fator exponencial decrescente (para \gamma>0), portanto é ele que causa o decaimento da amplitude com o tempo. Em outras palavras, a amplitude efetiva é A(t)=A_{0} e^{-\gamma t}. E lembre-se: \gamma = \dfrac{b}{2m}, então quanto maior o coeficiente de arrasto b (ou menor a massa m), mais rápido decai a amplitude.

Passo 8

Descrição e fórmulas dos três regimes de amortecimento (com interpretação física e soluções típicas):
  1. Subamortecido (underdamped): condição
\gamma < \omega_{0}.
Comportamento: raízes complexas; o sistema oscila com frequência amortecida \omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}} enquanto a amplitude decai exponencialmente como e^{-\gamma t}. Solução típica:
x(t)=A_{0} e^{-\gamma t} \cos(\omega' t + \varphi).
Físico: oscilações que vão diminuindo até a massa parar no equilíbrio.
  1. Criticamente amortecido (critical damping): condição
\gamma = \omega_{0}.
Comportamento: raiz dupla real r=-\gamma; não há oscilações e o sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. Solução típica:
x(t)=(C_{1} + C_{2} t) e^{-\gamma t}.
Físico: retorno rápido ao equilíbrio sem ultrapassagens (sem overshoot).
  1. Sobreamortecido (overdamped): condição
\gamma > \omega_{0}.
Comportamento: duas raízes reais e negativas distintas
r_{1}=-\gamma + \sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}},\qquad r_{2}=-\gamma - \sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}.
Solução típica:
x(t)=C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t},
com r_{1},r_{2}<0. Físico: sem oscilações, retorno ao equilíbrio mais lento do que no caso crítico (porque as componentes decaem com taxas diferentes, nenhuma oscilatória).

Passo 9

Pequenas interpretações práticas e dicas para prova (curtas e úteis):
  • Identifique rapidamente m, b, k e calcule \gamma=b/(2m) e \omega_{0}=\sqrt{k/m}; comparar \gamma com \omega_{0} já diz o regime.
  • Para obter a forma com cosseno e fase, use combinação linear de seno e cosseno ou a forma complexa e^{(-\gamma \pm i\omega')t}.
  • Lembre que o termo de amortecimento é o que aparece multiplicando a velocidade ( b\dot x) na equação e que \gamma mede a taxa de decaimento exponencial da amplitude.

Resposta

(a) F_{\text{amort}}=-b v = -b\dot x. Força total: F_{\text{total}}=-k x - b\dot x.\n(b) Equação diferencial: m\ddot x + b\dot x + k x = 0.\n(c) O decaimento da amplitude é causado pelo fator exponencial e^{-\gamma t} com \gamma=\dfrac{b}{2m}. Regimes:\nSubamortecido: \gamma<\omega_{0} — oscilações amortecidas com \omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}};\nCriticamente amortecido: \gamma=\omega_{0} — raiz dupla, retorno mais rápido sem oscilar, x(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-\gamma t};\nSobreamortecido: \gamma>\omega_{0} — duas raízes reais negativas, sem oscilações, x(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.

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