O Oscilador Amortecido:
(a) Adicione uma força de arrasto,
, à força restauradora da mola.
(b) Aplique a
Lei de Newton para derivar a equação diferencial do oscilador amortecido.
(c) A solução tem a forma
. Qual termo causa o decaimento da amplitude? Como você descreveria os três regimes de amortecimento?
(a) Adicione uma força de arrasto,
(b) Aplique a
(c) A solução tem a forma
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) adicionar uma força de arrasto à força restauradora da mola;
(b) aplicar a 2ª Lei de Newton para obter a equação diferencial do oscilador amortecido;
(c) a solução tem a forma : identificar qual termo causa o decaimento da amplitude e descrever os três regimes de amortecimento.
(a) adicionar uma força de arrasto
(b) aplicar a 2ª Lei de Newton para obter a equação diferencial do oscilador amortecido;
(c) a solução tem a forma
Informações relevantes dadas (e convenções que usarei):
é o deslocamento da massa ao longo do tempo,
é a velocidade,
é a massa,
é a constante da mola,
é o coeficiente de arrasto (amortecimento). A força restauradora da mola é a força elástica usual
. A força de arrasto é proporcional e oposta à velocidade:
.
Passo 2
(a) Adição da força de arrasto — detalhe físico e sinal:
A mola exerce uma força restauradora que tende a puxar a massa de volta para
; por convenção essa força é
A força de arrasto (amortecedora) dada no enunciado é
onde
e o sinal negativo indica que a força está sempre oposta ao sentido da velocidade (dissipa energia). Somando as duas forças (considerando apenas estas duas forças atuando), a força total sobre a massa é
Isso responde a parte (a): a força adicionada é
e a força resultante é
.
Passo 3
(b) Aplicando a 2ª Lei de Newton passo a passo:
A 2ª Lei de Newton diz que a massa vezes a aceleração é igual à força resultante:
Como
e
, temos
Rearranjando para a forma padrão de uma equação diferencial linear de 2ª ordem:
Esta é a equação diferencial do oscilador amortecido (homogênea, coeficientes constantes). Ela incorpora a mola (termo
) e o arrasto linear (termo
).
Passo 4
Como resolver essa equação — método e raciocínio:
A equação
é linear, homogênea, com coeficientes constantes. O método padrão é tentar uma solução exponencial do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo). Substituindo na equação obtemos a equação característica (polinomial):
Resolver essa quadrática nos dá os dois valores de
que determinam o comportamento geral da solução.
Passo 5
Resolvendo a equação característica e definindo constantes úteis:
A solução da quadrática é
É conveniente introduzir duas quantidades frequentemente usadas:
Em termos de
e
a fórmula dos raízes fica mais clara. Primeiro escrevemos o discriminante:
Portanto as raízes são
O sinal do termo dentro da raiz (
) determina o tipo de solução — se as raízes são complexas, repetidas ou reais distintas — e é daí que surgem os três regimes de amortecimento.
Passo 6
Derivando a forma dada da solução para o caso subamortecido (passo para chegar à fórmula do enunciado):
Se
então
e as raízes são complexas conjugadas:
Definimos a frequência angular amortecida
A solução geral real, obtida combinando as exponenciais complexas, é
Essa forma pode ser reescrita (usando identidade trigonométrica de fase) como
que é exatamente a forma dada no enunciado. Aqui
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Qual termo causa o decaimento da amplitude?
Na forma
, o fator que multiplica a oscilação periódica é
. Esse é um fator exponencial decrescente (para
), portanto é ele que causa o decaimento da amplitude com o tempo. Em outras palavras, a amplitude efetiva é
. E lembre-se:
, então quanto maior o coeficiente de arrasto
(ou menor a massa
), mais rápido decai a amplitude.
Passo 8
Descrição e fórmulas dos três regimes de amortecimento (com interpretação física e soluções típicas):
- Subamortecido (underdamped): condição
Comportamento: raízes complexas; o sistema oscila com frequência amortecida
enquanto a amplitude decai exponencialmente como
. Solução típica:
Físico: oscilações que vão diminuindo até a massa parar no equilíbrio.
- Criticamente amortecido (critical damping): condição
Comportamento: raiz dupla real
; não há oscilações e o sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. Solução típica:
Físico: retorno rápido ao equilíbrio sem ultrapassagens (sem overshoot).
- Sobreamortecido (overdamped): condição
Comportamento: duas raízes reais e negativas distintas
Solução típica:
com
. Físico: sem oscilações, retorno ao equilíbrio mais lento do que no caso crítico (porque as componentes decaem com taxas diferentes, nenhuma oscilatória).
Passo 9
Pequenas interpretações práticas e dicas para prova (curtas e úteis):
- Identifique rapidamente
e calcule e ; comparar com já diz o regime. - Para obter a forma com cosseno e fase, use combinação linear de seno e cosseno ou a forma complexa
. - Lembre que o termo de amortecimento é o que aparece multiplicando a velocidade (
) na equação e que mede a taxa de decaimento exponencial da amplitude.
Resposta
(a)
. Força total:
.\n(b) Equação diferencial:
.\n(c) O decaimento da amplitude é causado pelo fator exponencial
com
. Regimes:\nSubamortecido:
— oscilações amortecidas com
;\nCriticamente amortecido:
— raiz dupla, retorno mais rápido sem oscilar,
;\nSobreamortecido:
— duas raízes reais negativas, sem oscilações,
.