O Pêndulo Simples como um MHS:
(a) Desenhe o diagrama de corpo livre de um pêndulo e deduza a expressão para a força restauradora: F=-m g \sin \theta.
(b) Use a aproximação de pequenos ângulos (\sin \theta \approx \theta) e a relação s=L \theta para mostrar que a força é linear para pequenos deslocamentos ( F \approx-\frac{m g}{L} s ).
(c) Identifique a “constante de mola efetiva” ( k_{\text {efetivo }} ) e use \omega=\sqrt{k / m} para derivar a frequência natural do pêndulo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas:
  1. (a) Desenhar o diagrama de corpo livre de um pêndulo e deduzir a expressão da força restauradora \;F=-m g \sin\theta.
  2. (b) Usar a aproximação de pequenos ângulos (\sin\theta\approx\theta) e a relação \;s=L\theta para mostrar que a força é linear para pequenos deslocamentos: \;F\approx -\dfrac{m g}{L}s.
  3. (c) Identificar a constante de mola efetiva \;k_{\text{efetivo}} e, usando \;\omega=\sqrt{k/m}, derivar a frequência natural do pêndulo.
Informações dadas (que vamos usar):
  • \;m é a massa do peso (corpo) do pêndulo.
  • \;L é o comprimento do fio/haste.
  • \;g é a aceleração da gravidade.
  • \;\theta é o ângulo que o fio faz com a vertical (em radianos).
  • \;s é o deslocamento tangencial ao arco, com \;s=L\theta (para \theta em rad).
Não vou resolver nada neste passo; só enumerei o que o problema pede e os dados que temos.

Passo 2

Diagrama de corpo livre (descrição): imagine o pêndulo com massa m presa a um fio de comprimento L. As duas forças sobre a massa são:
  • a tensão \;T no fio, dirigida ao longo do fio, apontando para o pivô;
  • o peso \; \vec{P}=m\vec{g}, apontando verticalmente para baixo.
Agora escolhemos eixos convenientes para analisar o movimento: eixo radial (ao longo do fio, apontando para o pivô) e eixo tangencial (perpendicular ao fio, ao longo da direção do deslocamento ao longo do arco). A força que gera movimento tangencial é a componente do peso na direção tangencial.
Geometria e decomposição (expliquei o desenho em palavras):
  • Quando o fio faz ângulo \theta com a vertical, a componente do peso na direção tangencial tem magnitude m g \sin\theta.
  • O sinal dessa componente é tal que ela aponta no sentido de reduzir \theta (ou seja, é restauradora): se \theta>0 (deslocamento para um lado), a componente tangencial aponta no sentido negativo do deslocamento.
Formalizando a componente tangencial:
F_{\text{tangencial}} = - m g \sin\theta.
Explicação do sinal: escolhemos s>0 para \theta>0; a componente tangencial do peso age na direção oposta ao deslocamento, por isso o sinal negativo. Portanto a equação do movimento tangencial (segunda lei de Newton na direção tangencial) fica
m a_{\text{tang}} = - m g \sin\theta.
Como a_{\text{tang}} é a aceleração tangencial do ponto, a força restauradora que age tangencialmente é
\boxed{F = - m g \sin\theta.}

Passo 3

Agora vamos fazer a aproximação de pequenos ângulos e usar s=L\theta.
Por que \sin\theta\approx\theta para ângulos pequenos? Rápida justificativa pela série de Taylor de \sin\theta centrada em \theta=0:
\sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^{3}}{6} + \dfrac{\theta^{5}}{120} - \cdots.
Para |\theta| pequeno (por exemplo |\theta|\lesssim 0,1 rad), os termos em \theta^{3} e superiores são muito menores que \theta, então podemos aproximar
\sin\theta \approx \theta \quad(\text{para }\theta\text{ pequeno, em radianos}).
Usando essa aproximação na força do Passo 2:
F \approx - m g \,\theta.
Agora usamos a relação entre deslocamento tangencial s e ângulo \theta. Para um arco de circunferência de raio L,
s = L \theta \quad\Rightarrow\quad \theta = \dfrac{s}{L}.
Substituindo em F:
F \approx - m g \left(\dfrac{s}{L}\right) = -\dfrac{m g}{L}\, s.
Isto mostra que, para pequenos deslocamentos, a força é proporcional a -s: é linear e tem a forma de uma força elástica do tipo de Hooke.

Passo 4

Identificação da constante de mola efetiva e frequência natural.
Hooke nos diz que para uma mola ideal a força restauradora é
F = -k s,
onde \;k é a constante da mola (unidade N/m). Comparando com o resultado do Passo 3,
-\dfrac{m g}{L}\, s \quad\text{tem a forma}\quad -k_{\text{efetivo}}\, s.
Logo a constante de mola efetiva do pêndulo (para pequenos deslocamentos) é
\boxed{k_{\text{efetivo}} = \dfrac{m g}{L}.}
Agora usamos a fórmula da frequência angular de um oscilador harmônico simples (MHS):
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Substituindo k = k_{\text{efetivo}} = \dfrac{m g}{L},
\omega = \sqrt{\dfrac{\,m g / L\,}{m}} = \sqrt{\dfrac{g}{L}}.
Portanto a frequência angular natural do pêndulo (pequenas oscilações) é
\boxed{\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}.}
Se quiser a frequência em hertz f e o período T, lembrando que f=\omega/(2\pi) e T=2\pi/\omega, obtemos
f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L}},\qquad T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.

Resposta

(a) F = - m g \sin\theta
(b) F \approx - \dfrac{m g}{L}\, s
(c) k_{\text{efetivo}} = \dfrac{m g}{L} e \omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}

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