O Pêndulo Simples como um MHS:
(a) Desenhe o diagrama de corpo livre de um pêndulo e deduza a expressão para a força restauradora:
.
(b) Use a aproximação de pequenos ângulos
e a relação
para mostrar que a força é linear para pequenos deslocamentos (
).
(c) Identifique a “constante de mola efetiva” (
) e use
para derivar a frequência natural do pêndulo.
(a) Desenhe o diagrama de corpo livre de um pêndulo e deduza a expressão para a força restauradora:
(b) Use a aproximação de pequenos ângulos
(c) Identifique a “constante de mola efetiva” (
Passo 1
O enunciado pede três coisas distintas:
- (a) Desenhar o diagrama de corpo livre de um pêndulo e deduzir a expressão da força restauradora
. - (b) Usar a aproximação de pequenos ângulos
e a relação para mostrar que a força é linear para pequenos deslocamentos: . - (c) Identificar a constante de mola efetiva
e, usando , derivar a frequência natural do pêndulo.
Informações dadas (que vamos usar):
-
é a massa do peso (corpo) do pêndulo. -
é o comprimento do fio/haste. -
é a aceleração da gravidade. -
é o ângulo que o fio faz com a vertical (em radianos). -
é o deslocamento tangencial ao arco, com (para em rad).
Não vou resolver nada neste passo; só enumerei o que o problema pede e os dados que temos.
Passo 2
Diagrama de corpo livre (descrição): imagine o pêndulo com massa
presa a um fio de comprimento
. As duas forças sobre a massa são:
- a tensão
no fio, dirigida ao longo do fio, apontando para o pivô; - o peso
, apontando verticalmente para baixo.
Agora escolhemos eixos convenientes para analisar o movimento: eixo radial (ao longo do fio, apontando para o pivô) e eixo tangencial (perpendicular ao fio, ao longo da direção do deslocamento ao longo do arco). A força que gera movimento tangencial é a componente do peso na direção tangencial.
Geometria e decomposição (expliquei o desenho em palavras):
- Quando o fio faz ângulo
com a vertical, a componente do peso na direção tangencial tem magnitude . - O sinal dessa componente é tal que ela aponta no sentido de reduzir
(ou seja, é restauradora): se (deslocamento para um lado), a componente tangencial aponta no sentido negativo do deslocamento.
Formalizando a componente tangencial:
Explicação do sinal: escolhemos
para
; a componente tangencial do peso age na direção oposta ao deslocamento, por isso o sinal negativo. Portanto a equação do movimento tangencial (segunda lei de Newton na direção tangencial) fica
Como
é a aceleração tangencial do ponto, a força restauradora que age tangencialmente é
Passo 3
Agora vamos fazer a aproximação de pequenos ângulos e usar
.
Por que
para ângulos pequenos? Rápida justificativa pela série de Taylor de
centrada em
:
Para
pequeno (por exemplo
rad), os termos em
e superiores são muito menores que
, então podemos aproximar
Usando essa aproximação na força do Passo 2:
Agora usamos a relação entre deslocamento tangencial
e ângulo
. Para um arco de circunferência de raio
,
Substituindo em
:
Isto mostra que, para pequenos deslocamentos, a força é proporcional a
: é linear e tem a forma de uma força elástica do tipo de Hooke.
Passo 4
Identificação da constante de mola efetiva e frequência natural.
Hooke nos diz que para uma mola ideal a força restauradora é
onde
é a constante da mola (unidade N/m). Comparando com o resultado do Passo 3,
Logo a constante de mola efetiva do pêndulo (para pequenos deslocamentos) é
Agora usamos a fórmula da frequência angular de um oscilador harmônico simples (MHS):
Substituindo
,
Portanto a frequência angular natural do pêndulo (pequenas oscilações) é
Se quiser a frequência em hertz
e o período
, lembrando que
e
, obtemos
Resposta
(a)
(b)
(c) e
(b)
(c)