Derivando as Ferramentas: Vamos deduzir as fórmulas gerais para
e
a partir das duas equações fundamentais para
:
(a) Dedução de
: Divida a equação 2 pela equação 1 para deduzir a fórmula geral para
.
(b) Dedução de
: Eleve ambas as equações ao quadrado e some-as (após um pequeno rearranjo) para deduzir a fórmula geral para a amplitude
, usando a identidade
.
(b) Dedução de
Passo 1
O enunciado dá as duas equações iniciais (no instante
) relacionando amplitude
, fase
, posição inicial
, velocidade inicial
e frequência angular
:
As perguntas são:
(a) Ao dividir a equação de pela de
, deduzir a fórmula geral para
.
(b) Elevando as duas equações ao quadrado e somando-as (usando ), deduzir a fórmula geral para a amplitude
.
(a) Ao dividir a equação de
(b) Elevando as duas equações ao quadrado e somando-as (usando
Passo 2
Vamos dividir a equação de
pela de
. Escrevo as duas equações de novo para clareza:
Dividindo a segunda pela primeira (assumindo momentaneamente
, depois tratamos o caso
):
Note que o fator
cancela entre numerador e denominador; isso é permitido porque
é a mesma em ambas as equações e, em contextos físicos,
. Após cancelar
temos:
Mas
, portanto
Isolando
,
Passo 3
Interpretação prática e cuidados com o sinal/quadrantes: a relação
dá o valor da tangente de
, mas a função arctan retorna um ângulo com valor principal (normalmente entre
e
), e isso pode não fixar o quadrante correto de
. Para obter o ângulo
correto na prova você pode:
- calcular
e depois ajustar adicionando se necessário, usando a informação sobre os sinais de e ; ou - mais simples e robusto: usar a função de duas-argumentos
com
ou seja
pois
já escolhe o quadrante correto com base nos sinais de
e
.
Observação sobre o caso
: nesse caso a divisão original não é válida. Quando
temos
, portanto
é
(ou seja,
); o sinal exato é determinado pela equação de
: se
então de
obtemos
, assim o sinal de
decide se
ou
(mais precisamente, com periodicidade
).
Passo 4
Agora deduzimos
. Partimos de
Elevamos cada equação ao quadrado:
Para somá-las de forma conveniente, divido a segunda por
antes de somar (isso facilita o cancelamento):
Agora somo com
:
Fatorando
no lado direito:
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
logo
Como
é amplitude (valor não negativo), tomamos a raiz positiva:
Passo 5
Resumo didático de uso na prova:
- Para achar
: primeiro calcule . Se , use e ajuste o quadrante com os sinais de e , ou diretamente . Se , trate separadamente como explicado no Passo 3. - Para achar
: use a fórmula direta
Essas fórmulas são rápidas de aplicar em prova e evitam erros ao lidar com sinais/quadrantes se você usar
.