Derivando as Ferramentas: Vamos deduzir as fórmulas gerais para A e \varphi a partir das duas equações fundamentais para t=0 :
\begin{array}{ll} x_{0} & =A \cos (\varphi) \\\ v_{0} & =-A \omega \sin (\varphi) \quad(\text { Equação } 1) \\\ & (\text { Equação } 2) \end{array}çãçã
(a) Dedução de \varphi : Divida a equação 2 pela equação 1 para deduzir a fórmula geral para \tan (\varphi).
(b) Dedução de A : Eleve ambas as equações ao quadrado e some-as (após um pequeno rearranjo) para deduzir a fórmula geral para a amplitude A, usando a identidade \sin ^{2} \varphi+\cos ^{2} \varphi=1.

Passo 1

O enunciado dá as duas equações iniciais (no instante t=0) relacionando amplitude A, fase \varphi, posição inicial x_{0}, velocidade inicial v_{0} e frequência angular \omega:
x_{0}=A\cos(\varphi)
v_{0}=-A\omega\sin(\varphi)
As perguntas são:
(a) Ao dividir a equação de v_{0} pela de x_{0}, deduzir a fórmula geral para \tan(\varphi).
(b) Elevando as duas equações ao quadrado e somando-as (usando \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1), deduzir a fórmula geral para a amplitude A.

Passo 2

Vamos dividir a equação de v_{0} pela de x_{0}. Escrevo as duas equações de novo para clareza:
x_{0}=A\cos(\varphi)
v_{0}=-A\omega\sin(\varphi)
Dividindo a segunda pela primeira (assumindo momentaneamente x_{0}\neq 0, depois tratamos o caso x_{0}=0):
\frac{v_{0}}{x_{0}}=\frac{-A\omega\sin(\varphi)}{A\cos(\varphi)}
Note que o fator A cancela entre numerador e denominador; isso é permitido porque A é a mesma em ambas as equações e, em contextos físicos, A>0. Após cancelar A temos:
\frac{v_{0}}{x_{0}}=-\omega\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}
Mas \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}=\tan(\varphi), portanto
\frac{v_{0}}{x_{0}}=-\omega\,\tan(\varphi).
Isolando \tan(\varphi),
\tan(\varphi)=-\frac{v_{0}}{\omega x_{0}}.

Passo 3

Interpretação prática e cuidados com o sinal/quadrantes: a relação \tan(\varphi)=-\dfrac{v_{0}}{\omega x_{0}} dá o valor da tangente de \varphi, mas a função arctan retorna um ângulo com valor principal (normalmente entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}), e isso pode não fixar o quadrante correto de \varphi. Para obter o ângulo \varphi correto na prova você pode:
  • calcular \varphi=\arctan\!\bigl(-\dfrac{v_{0}}{\omega x_{0}}\bigr) e depois ajustar adicionando \pi se necessário, usando a informação sobre os sinais de x_{0} e v_{0}; ou
  • mais simples e robusto: usar a função de duas-argumentos \operatorname{atan2}(Y,X) com
Y=-\frac{v_{0}}{\omega},\qquad X=x_{0},
ou seja
\varphi=\operatorname{atan2}\!\left(-\frac{v_{0}}{\omega},\,x_{0}\right),
pois \operatorname{atan2} já escolhe o quadrante correto com base nos sinais de X e Y.
Observação sobre o caso x_{0}=0: nesse caso a divisão original não é válida. Quando x_{0}=0 temos \cos(\varphi)=0, portanto \varphi é \pm \tfrac{\pi}{2} (ou seja, \varphi=\tfrac{\pi}{2}+k\pi); o sinal exato é determinado pela equação de v_{0}: se x_{0}=0 então de v_{0}=-A\omega\sin(\varphi) obtemos \sin(\varphi)=-v_{0}/(A\omega), assim o sinal de v_{0} decide se \varphi=+\tfrac{\pi}{2} ou -\tfrac{\pi}{2} (mais precisamente, com periodicidade 2\pi).

Passo 4

Agora deduzimos A. Partimos de
x_{0}=A\cos(\varphi)
v_{0}=-A\omega\sin(\varphi)
Elevamos cada equação ao quadrado:
x_{0}^{2}=A^{2}\cos^{2}(\varphi)
v_{0}^{2}=A^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\varphi)
Para somá-las de forma conveniente, divido a segunda por \omega^{2} antes de somar (isso facilita o cancelamento):
\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}=A^{2}\sin^{2}(\varphi).
Agora somo com x_{0}^{2}=A^{2}\cos^{2}(\varphi):
x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}=A^{2}\cos^{2}(\varphi)+A^{2}\sin^{2}(\varphi).
Fatorando A^{2} no lado direito:
x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}=A^{2}\bigl(\cos^{2}(\varphi)+\sin^{2}(\varphi)\bigr).
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
\cos^{2}(\varphi)+\sin^{2}(\varphi)=1,
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x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}=A^{2}.
Como A é amplitude (valor não negativo), tomamos a raiz positiva:
A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}.

Passo 5

Resumo didático de uso na prova:
  • Para achar \varphi: primeiro calcule \tan(\varphi)=-\dfrac{v_{0}}{\omega x_{0}}. Se x_{0}\neq 0, use \varphi=\arctan\!\bigl(-\dfrac{v_{0}}{\omega x_{0}}\bigr) e ajuste o quadrante com os sinais de x_{0} e v_{0}, ou diretamente \varphi=\operatorname{atan2}\!\bigl(-\dfrac{v_{0}}{\omega},x_{0}\bigr). Se x_{0}=0, trate separadamente como explicado no Passo 3.
  • Para achar A: use a fórmula direta
A=\sqrt{x_{0}^{2}+\dfrac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}.
Essas fórmulas são rápidas de aplicar em prova e evitam erros ao lidar com sinais/quadrantes se você usar \operatorname{atan2}.

Resposta

\tan(\varphi)=-\dfrac{v_{0}}{\omega x_{0}}
\displaystyle A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}

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