Um oscilador Amortecido consiste em um sistema massa mola na presença de uma força de resistência ao seu movimento, e pode ser descrito de pela:
x(t)=A e^-gamma t2 cos (omega t)
Onde gamma, omega e A são constantes, mostre que para um tempo relativamente grande (t infty) o sistema deixa de oscilar, ou seja, que x=0 .

Passo 1

O enunciado dá a solução de um oscilador amortecido
x(t)=A,e^-gamma t2cos(omega t)
e pede para mostrar que, quando ttoinfty, o sistema deixa de oscilar, ou seja
limttoinftyx(t)=0.

Passo 2

Observamos que gamma>0 e, por isso, o fator exponencial
e^-gamma t2
decai para zero à medida que ttoinfty. Em termos de limite:
limttoinftye^-gamma t2=0

Passo 3

Sabemos também que cos(omega t) é uma função limitada:
-1<=cos(omega t)<=1. Então, para todo t,
|x(t)| = l|A,e^-gamma t2cos(omega t)r| <= |A|,e^-gamma t2
Como o lado direito tende a zero quando ttoinfty, pelo teorema do “sanduíche” segue-se que
limttoinftyx(t)=0

Resposta

limttoinftyx(t)=0, ou seja, para tempo grande o deslocamento x anula-se e o sistema deixa de oscilar.

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