Calcule
lim x +infty(1+2x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+2xr)^x
Este tipo de limite é do tipo 1^infty, e para resolvê-lo vamos usar a transformação pelo logaritmo natural e conhecer o limite básico
limyto0ln(1+y)y=1

Passo 2

Defina
L = limxto+inftyl(1+2xr)^x
Como o logaritmo é contínuo em (0,infty), temos
ln L = limxto+infty lnl[l(1+2xr)^xr] = limxto+infty x,lnl(1+2xr)

Passo 3

Para calcular
limxto+infty x,lnl(1+2xr),
faça a substituição y=2/x, de forma que yto0 quando xto+infty. Então
x,lnl(1+2xr) = 2y,ln(1+y) = 2;ln(1+y)y longrightarrow 2cdot1 = 2
Logo ln L = 2.

Passo 4

Como ln L=2, obtemos
L = e^2

Resposta

e^2

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