Um oscilador amortecido é formado por uma massa de 40 g e uma mola de constante elástica k=20 \frac{\mathrm{~N}}{\mathrm{~m}}. A constante de amortecimento devido a viscosidade é 0,05 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e a amplitude do movimento é 0,3 \mathrm{~m}. No instante inicial o corpo se encontra na posição 0,3 \mathrm{~m}. Calcular a velocidade angular, a frequência, o fator de qualidade e a posição para t=0,15 s.

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro quantidades e nos dá alguns dados. Perguntas: calcular a velocidade angular, a frequência, o fator de qualidade e a posição para t=0{,}15\\ \mathrm{s}. Dados fornecidos:
  • massa: m=40\\ \mathrm{g}=0{,}04\\ \mathrm{kg},
  • constante elástica da mola: k=20\\ \mathrm{N/m},
  • coeficiente de amortecimento (viscoso): c=0{,}05\\ \mathrm{kg/s},
  • amplitude do movimento: A=0{,}3\\ \mathrm{m},
  • condição inicial: no instante inicial o corpo está em x(0)=0{,}3\\ \mathrm{m},
  • instante para avaliar a posição: t=0{,}15\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro converto e confirmo unidades (já feitas no Passo 1). Reescrevo os símbolos que usaremos:
  • m é a massa em quilogramas,
  • k é a constante elástica em \mathrm{N/m},
  • c é o coeficiente de amortecimento em \mathrm{kg/s},
  • A é a amplitude inicial em metros,
  • \omega_0 será a pulsação natural (não amortecida),
  • \gamma será a constante de amortecimento por unidade de massa (meio coeficiente amortecedor),
  • \omega_d será a pulsação amortecida (velocidade angular amortecida),
  • f será a frequência (Hz),
  • Q será o fator de qualidade,
  • x(t) é a posição no tempo.

Passo 3

Calculo a pulsação natural (não amortecida) \omega_0. A fórmula vem do sistema massa-mola sem amortecimento, onde a equação linear para pequenas oscilações leva a:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega_0 tem unidades de \mathrm{rad/s}. Substituindo:
\omega_0=\sqrt{\frac{20}{0{,}04}}=\sqrt{500}\approx 22{,}3607\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Defino a constante de amortecimento por unidade de massa \gamma. Para a equação m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0 costuma-se escrever 2\gamma=\dfrac{c}{m}, logo
\gamma=\frac{c}{2m}.
Substituindo:
\gamma=\frac{0{,}05}{2\cdot 0{,}04}=\frac{0{,}05}{0{,}08}=0{,}625\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Verifico o regime de amortecimento comparando \gamma com \omega_0. Se \gamma<\omega_0 temos regime subamortecido (oscilações amortecidas). Aqui
\gamma=0{,}625\\ \mathrm{s^{-1}}\ll \omega_0\approx 22{,}3607\\ \mathrm{rad/s},
portanto o sistema é subamortecido (oscilações com decaimento exponencial).

Passo 6

Calculo a pulsação amortecida \omega_d. Para o caso subamortecido:
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\gamma^{2}}.
Explico: a solução temporal tem um termo oscilatório com frequência reduzida pela presença do amortecimento, e essa frequência (em rad/s) é \omega_d. Substituindo os valores:
\omega_d=\sqrt{(22{,}3607)^{2}-(0{,}625)^{2}}=\sqrt{500-0{,}390625}=\sqrt{499{,}609375}\approx 22{,}3519\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

A frequência em hertz f relaciona-se com a pulsação por f=\dfrac{\omega_d}{2\pi}. Assim:
f=\frac{\omega_d}{2\pi}=\frac{22{,}3519}{2\pi}\approx \frac{22{,}3519}{6{,}283185}\approx 3{,}5568\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Calculo o fator de qualidade Q. Uma definição útil para osciladores amortecidos é
Q=\frac{m\omega_0}{c}=\frac{\omega_0}{2\gamma}.
Significado físico: Q mede quão fracas são as perdas por ciclo (maior Q = menor amortecimento relativo). Substituindo:
Q=\frac{0{,}04\cdot 22{,}3607}{0{,}05}=\frac{0{,}894428}{0{,}05}\approx 17{,}8885\\ (\text{adimensional}).

Passo 9

Escrevo a solução temporal para o caso subamortecido e explico como uso as condições iniciais. A solução geral é
x(t)=A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t+\varphi),
onde A é a amplitude máxima (aqui dada) e \varphi é a fase inicial. As variáveis significam: A em metros, \gamma em \mathrm{s^{-1}}, \omega_d em \mathrm{rad/s}, \varphi em radianos. Pelo enunciado temos x(0)=0{,}3\\ \mathrm{m} e foi dito que a amplitude é A=0{,}3\\ \mathrm{m}. Assim em t=0,
x(0)=A\cos\varphi=0{,}3.
Como A=0{,}3, segue \cos\varphi=1, portanto \varphi=0 (ou múltiplos inteiros de 2\pi, tomamos \varphi=0). Isso corresponde fisicamente ao fato de que, estando no máximo da amplitude no instante inicial, a velocidade inicial é zero (v(0)=0). Então a solução que usaremos é
x(t)=A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t).

Passo 10

Avalio x(t) em t=0{,}15\\ \mathrm{s}. Substituo os valores calculados:
  • A=0{,}3,
  • \gamma=0{,}625,
  • \omega_d\approx 22{,}3519.
Calculo o fator exponencial:
e^{-\gamma t}=e^{-0{,}625\cdot 0{,}15}=e^{-0{,}09375}\approx 0{,}910512.
Calculo o argumento do cosseno:
\omega_d t=22{,}3519\cdot 0{,}15\approx 3{,}35279\\ \mathrm{rad}.
Como 3{,}35279\\ \mathrm{rad}=\pi+0{,}21120\\ \mathrm{rad}, temos \cos(3{,}35279)\approx -\cos(0{,}21120)\approx -0{,}97773. Agora
x(0{,}15)=0{,}3\cdot 0{,}910512\cdot (-0{,}97773)\approx -0{,}2672\\ \mathrm{m}.
Portanto, no instante t=0{,}15\\ \mathrm{s} a massa está aproximadamente em -0{,}2672\\ \mathrm{m} (o sinal negativo indica que passou para o lado oposto da posição de equilíbrio).

Resposta

\omega_d\approx 22{,}3519\\ \mathrm{rad/s}
f\approx 3{,}5568\\ \mathrm{Hz}
Q\approx 17{,}8885
x(0{,}15)\approx -0{,}2672\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados