Um oscilador amortecido é formado por uma massa de
e uma mola de constante elástica
. A constante de amortecimento devido a viscosidade é
e a amplitude do movimento é
. No instante inicial o corpo se encontra na posição
. Calcular a velocidade angular, a frequência, o fator de qualidade e a posição para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro quantidades e nos dá alguns dados. Perguntas: calcular a velocidade angular, a frequência, o fator de qualidade e a posição para
. Dados fornecidos:
- massa:
, - constante elástica da mola:
, - coeficiente de amortecimento (viscoso):
, - amplitude do movimento:
, - condição inicial: no instante inicial o corpo está em
, - instante para avaliar a posição:
.
Passo 2
Primeiro converto e confirmo unidades (já feitas no Passo 1). Reescrevo os símbolos que usaremos:
-
é a massa em quilogramas, -
é a constante elástica em , -
é o coeficiente de amortecimento em , -
é a amplitude inicial em metros, -
será a pulsação natural (não amortecida), -
será a constante de amortecimento por unidade de massa (meio coeficiente amortecedor), -
será a pulsação amortecida (velocidade angular amortecida), -
será a frequência (Hz), -
será o fator de qualidade, -
é a posição no tempo.
Passo 3
Calculo a pulsação natural (não amortecida)
. A fórmula vem do sistema massa-mola sem amortecimento, onde a equação linear para pequenas oscilações leva a:
Aqui
tem unidades de
. Substituindo:
Passo 4
Defino a constante de amortecimento por unidade de massa
. Para a equação
costuma-se escrever
, logo
Substituindo:
Passo 5
Verifico o regime de amortecimento comparando
com
. Se
temos regime subamortecido (oscilações amortecidas). Aqui
portanto o sistema é subamortecido (oscilações com decaimento exponencial).
Passo 6
Calculo a pulsação amortecida
. Para o caso subamortecido:
Explico: a solução temporal tem um termo oscilatório com frequência reduzida pela presença do amortecimento, e essa frequência (em rad/s) é
. Substituindo os valores:
Passo 7
A frequência em hertz
relaciona-se com a pulsação por
. Assim:
Passo 8
Calculo o fator de qualidade
. Uma definição útil para osciladores amortecidos é
Significado físico:
mede quão fracas são as perdas por ciclo (maior
= menor amortecimento relativo). Substituindo:
Passo 9
Escrevo a solução temporal para o caso subamortecido e explico como uso as condições iniciais. A solução geral é
onde
é a amplitude máxima (aqui dada) e
é a fase inicial. As variáveis significam:
em metros,
em
,
em
,
em radianos. Pelo enunciado temos
e foi dito que a amplitude é
. Assim em
,
Como
, segue
, portanto
(ou múltiplos inteiros de
, tomamos
). Isso corresponde fisicamente ao fato de que, estando no máximo da amplitude no instante inicial, a velocidade inicial é zero (v(0)=0). Então a solução que usaremos é
Passo 10
Avalio
em
. Substituo os valores calculados:
-
, -
, -
.
Calculo o fator exponencial:
Calculo o argumento do cosseno:
Como
, temos
. Agora
Portanto, no instante
a massa está aproximadamente em
(o sinal negativo indica que passou para o lado oposto da posição de equilíbrio).