Responda detathadamente as questóes a seguit.
(a) Defina o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balistico, desconsiderando a resistencia do ar.

Passo 1

O enunciado pede: “Defina o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balístico, desconsiderando a resistência do ar.”
Informações e hipóteses implícitas que vamos usar:
  • O corpo é lançado a partir de um nível vertical de referência e volta a esse mesmo nível ao pousar (lançamento e aterrissagem na mesma altura).
  • A velocidade inicial do lançamento é \,v_0, e o ângulo de lançamento com a horizontal é \,\theta.
  • A aceleração da gravidade é \,g, (apontando para baixo) e não há outras forças (isto é, desprezamos resistência do ar).
  • O objetivo é obter a expressão do alcance horizontal (distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto de aterrissagem) em função de \,v_0, \,\theta e \,g.

Passo 2

Vamos entender física básica que vamos usar: decomposição da velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.
Se a velocidade inicial tem magnitude \,v_0, e direção que forma ângulo \,\theta, com a horizontal, suas componentes são:
v_{0x} = v_0 \cos\theta
v_{0y} = v_0 \sin\theta
Explicação: \,v_{0x} é a componente horizontal (quanto a velocidade “empurra” o projétil para a frente) e \,v_{0y} é a componente vertical (quanto a velocidade “empurra” para cima). As funções \cos e \sin vêm da trigonometria num triângulo retângulo formado pela decomposição do vetor velocidade.

Passo 3

Equação do movimento horizontal (sem aceleração horizontal):
Como não há resistência do ar, não há aceleração na direção horizontal, então a velocidade horizontal permanece constante igual a \,v_{0x}. A posição horizontal em função do tempo é
x(t) = v_{0x}\, t = v_0 \cos\theta \; t.
Isto significa que a distância percorrida horizontalmente é simplesmente velocidade horizontal vezes tempo de voo.

Passo 4

Equação do movimento vertical (com aceleração -g):
A posição vertical em função do tempo, tomando y=0 no ponto de lançamento, é
y(t) = v_{0y}\, t - \tfrac{1}{2} g t^2 = v_0 \sin\theta \; t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Explicação: o termo linear vem da velocidade inicial vertical, e o termo em t^2 vem da aceleração constante para baixo. A forma é a famosa equação do movimento uniformemente variado.

Passo 5

Determinar o tempo de voo total t_{\text{f}}:
O tempo de voo é o tempo que o projétil leva para retornar ao mesmo nível vertical de onde foi lançado, ou seja, o menor t>0 tal que y(t)=0. Resolvendo
y(t)=v_0 \sin\theta \; t - \tfrac{1}{2} g t^2 = 0,
fatoramos t:
t\left(v_0 \sin\theta - \tfrac{1}{2} g t\right)=0.
As soluções são t=0 (lançamento) e
t_{\text{f}} = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}.
Explicação do passo: descartamos t=0 porque corresponde ao instante inicial; a outra raiz é o tempo em que o projétil volta a y=0.

Passo 6

Calcular o alcance horizontal R:
O alcance é a posição horizontal no tempo t_{\text{f}}. Usando x(t)=v_0\cos\theta\; t e substituindo t_{\text{f}},
R = x(t_{\text{f}}) = v_0 \cos\theta \cdot \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}.
Simplificando, obtemos
R = \frac{2 v_0^2 \sin\theta \cos\theta}{g}.
Usando a identidade trigonométrica \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, podemos escrever de forma mais compacta:
R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}.
Explicação: essa é a fórmula clássica do alcance quando lançamento e pouso estão no mesmo nível, sem resistência do ar.

Passo 7

Interpretações e observações úteis (para a prova):
  • Significado das variáveis: \,R é o alcance horizontal (em metros, por exemplo), \,v_0 é a velocidade inicial (m/s), \,\theta é o ângulo de lançamento em relação à horizontal (radianos ou graus) e \,g é a aceleração da gravidade (por exemplo \,g\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2 na superfície da Terra).
  • Máximo alcance: como \sin 2\theta tem máximo igual a 1, o alcance é máximo quando 2\theta = 90^\circ, isto é, \theta = 45^\circ. O alcance máximo é
R_{\text{máx}} = \frac{v_0^2}{g}.á
  • Simetria de ângulos: \sin 2\theta = \sin(2(90^\circ-\theta)), então ângulos complementares \theta e 90^\circ-\theta produzem o mesmo alcance (por exemplo 30^\circ e 60^\circ).
  • Atenção: se a altura de lançamento e de aterrissagem forem diferentes, essa fórmula não vale; nesse caso deve-se resolver a equação quadrática completa para y(t) e usar o maior t>0 na equação de x(t).

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar):
Se v_0=20\\ \text{m/s}, \theta=30^\circ e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2, então \sin 2\theta=\sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
R = \frac{(20)^2 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{9{,}8} = \frac{400 \cdot 0{,}8660\ldots}{9{,}8}\approx 35{,}35\\ \text{m}.
Isto mostra como aplicar a fórmula na prática.

Resposta

Alcance horizontal R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g} (para lançamento e aterrissagem no mesmo nível, desprezando resistência do ar).

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