Responda detathadamente as questóes a seguit.
(a) Defina o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balistico, desconsiderando a resistencia do ar.
(a) Defina o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balistico, desconsiderando a resistencia do ar.
Passo 1
O enunciado pede: “Defina o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balístico, desconsiderando a resistência do ar.”
Informações e hipóteses implícitas que vamos usar:
Informações e hipóteses implícitas que vamos usar:
- O corpo é lançado a partir de um nível vertical de referência e volta a esse mesmo nível ao pousar (lançamento e aterrissagem na mesma altura).
- A velocidade inicial do lançamento é
, e o ângulo de lançamento com a horizontal é . - A aceleração da gravidade é
, (apontando para baixo) e não há outras forças (isto é, desprezamos resistência do ar). - O objetivo é obter a expressão do alcance horizontal (distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto de aterrissagem) em função de
, e .
Passo 2
Vamos entender física básica que vamos usar: decomposição da velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.
Se a velocidade inicial tem magnitude , e direção que forma ângulo
, com a horizontal, suas componentes são:
Se a velocidade inicial tem magnitude
Explicação:
é a componente horizontal (quanto a velocidade “empurra” o projétil para a frente) e
é a componente vertical (quanto a velocidade “empurra” para cima). As funções
e
vêm da trigonometria num triângulo retângulo formado pela decomposição do vetor velocidade.
Passo 3
Equação do movimento horizontal (sem aceleração horizontal):
Como não há resistência do ar, não há aceleração na direção horizontal, então a velocidade horizontal permanece constante igual a . A posição horizontal em função do tempo é
Como não há resistência do ar, não há aceleração na direção horizontal, então a velocidade horizontal permanece constante igual a
Isto significa que a distância percorrida horizontalmente é simplesmente velocidade horizontal vezes tempo de voo.
Passo 4
Equação do movimento vertical (com aceleração
):
A posição vertical em função do tempo, tomando no ponto de lançamento, é
A posição vertical em função do tempo, tomando
Explicação: o termo linear vem da velocidade inicial vertical, e o termo em
vem da aceleração constante para baixo. A forma é a famosa equação do movimento uniformemente variado.
Passo 5
Determinar o tempo de voo total
:
O tempo de voo é o tempo que o projétil leva para retornar ao mesmo nível vertical de onde foi lançado, ou seja, o menor tal que
. Resolvendo
O tempo de voo é o tempo que o projétil leva para retornar ao mesmo nível vertical de onde foi lançado, ou seja, o menor
fatoramos
:
As soluções são
(lançamento) e
Explicação do passo: descartamos
porque corresponde ao instante inicial; a outra raiz é o tempo em que o projétil volta a
.
Passo 6
Calcular o alcance horizontal
:
O alcance é a posição horizontal no tempo . Usando
e substituindo
,
O alcance é a posição horizontal no tempo
Simplificando, obtemos
Usando a identidade trigonométrica
, podemos escrever de forma mais compacta:
Explicação: essa é a fórmula clássica do alcance quando lançamento e pouso estão no mesmo nível, sem resistência do ar.
Passo 7
Interpretações e observações úteis (para a prova):
- Significado das variáveis:
é o alcance horizontal (em metros, por exemplo), é a velocidade inicial (m/s), é o ângulo de lançamento em relação à horizontal (radianos ou graus) e é a aceleração da gravidade (por exemplo na superfície da Terra). - Máximo alcance: como
tem máximo igual a , o alcance é máximo quando , isto é, . O alcance máximo é
- Simetria de ângulos:
, então ângulos complementares e produzem o mesmo alcance (por exemplo e ). - Atenção: se a altura de lançamento e de aterrissagem forem diferentes, essa fórmula não vale; nesse caso deve-se resolver a equação quadrática completa para
e usar o maior na equação de .
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para fixar):
Se ,
e
, então
. Assim
Se
Isto mostra como aplicar a fórmula na prática.
Resposta
Alcance horizontal
(para lançamento e aterrissagem no mesmo nível, desprezando resistência do ar).