Em um oscilador amortecido com \mathrm{m}=250 \mathrm{~g}, \mathrm{k}=85 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e \mathrm{b}=70 \mathrm{~g} / \mathrm{s} qual e a razáo entre a amplitude das oscilaçōes amortecidas e a amplitude inicial após 37 ciclos?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas após 37 ciclos e a amplitude inicial.
Dados fornecidos (vou reescrever e converter unidades quando necessário):
m=250\\ \mathrm{g}, k=85\\ \mathrm{N/m} e b=70\\ \mathrm{g/s}.
Pergunta explícita: encontrar \dfrac{A(37\\ \text{ciclos})}{A_0}, onde A_0 é a amplitude inicial e A(37\\ \text{ciclos}) é a amplitude depois de 37 ciclos.

Passo 2

Equação e forma da solução (por que usamos isso): o movimento amortecido obedece à equação
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0.
Aqui \ddot{x} é a aceleração, \dot{x} a velocidade; m é a massa, b o coeficiente de amortecimento e k a constante elástica. A solução para regime subamortecido (quando há oscilações) tem a forma
x(t)=A_0\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t+\varphi),
onde \gamma é a taxa de amortecimento e \omega_d a frequência angular amortecida. A “amplitude” das oscilações no tempo t é o envelope A(t)=A_0 e^{-\gamma t}. Portanto a razão pedida é
\frac{A(t)}{A_0}=e^{-\gamma t},
com t sendo o tempo correspondente a 37 ciclos.

Passo 3

Fórmulas importantes e definição das quantidades que usaremos:
Taxa de amortecimento
\gamma=\frac{b}{2m}.
Frequência natural (sem amortecimento)
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Frequência angular amortecida
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.
Período da oscilação amortecida
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}.
Tempo correspondente a 37 ciclos
t=37\,T_d.
E finalmente a razão procurada
\frac{A(37\\ \text{ciclos})}{A_0}=e^{-\gamma t}.

Passo 4

Converter unidades para o sistema SI (essencial para cálculos):
Massa:
m=250\\ \mathrm{g}=0,250\\ \mathrm{kg}.
Coeficiente de amortecimento:
b=70\\ \mathrm{g/s}=0,070\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Calcular \gamma:
\gamma=\frac{b}{2m}=\frac{0,070}{2\cdot 0,250}=\frac{0,070}{0,500}=0,14\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: \gamma mede a taxa exponencial de decaimento da amplitude (unidade s^{-1}).

Passo 6

Calcular \omega_0:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{85}{0,250}}=\sqrt{340}\approx 18,439088\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Calcular \omega_d (frequência amortecida):
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}=\sqrt{340-0,0196}=\sqrt{339,9804}\approx 18,438619\\ \mathrm{rad/s}.
Observação: o amortecimento é fraco ( \gamma pequeno), por isso \omega_d é muito próximo de \omega_0.

Passo 8

Calcular o período amortecido T_d:
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx\frac{2\pi}{18,438619}\approx 0,340671\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Tempo correspondente a 37 ciclos:
t=37\,T_d\approx 37\cdot 0,340671\approx 12,6048\\ \mathrm{s}.

Passo 10

Calcular a razão das amplitudes usando o decaimento exponencial:
\frac{A(37\\ \text{ciclos})}{A_0}=e^{-\gamma t}=e^{-0,14\cdot 12,6048}=e^{-1,764672}\approx 0,171\!.
Alternativa útil: por ciclo a razão é r=e^{-\gamma T_d} e a razão após 37 ciclos é r^{37}; isso dá o mesmo resultado numérico.

Passo 11

Interpretação final e comentário de ânimo: depois de 37 ciclos a amplitude caiu para cerca de 17{,}1\% da amplitude inicial — ou seja, ficou aproximadamente uma quinta parte. Você tá indo bem — passo a passo e sem pânico!

Resposta

\dfrac{A(37\\ \text{ciclos})}{A_0}\approx 0,171

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