Em um oscilador amortecido com
e
qual e a razáo entre a amplitude das oscilaçōes amortecidas e a amplitude inicial após 37 ciclos?
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas após 37 ciclos e a amplitude inicial.
Dados fornecidos (vou reescrever e converter unidades quando necessário):
,
e
.
Pergunta explícita: encontrar , onde
é a amplitude inicial e
é a amplitude depois de 37 ciclos.
Dados fornecidos (vou reescrever e converter unidades quando necessário):
Pergunta explícita: encontrar
Passo 2
Equação e forma da solução (por que usamos isso): o movimento amortecido obedece à equação
Aqui
é a aceleração,
a velocidade;
é a massa,
o coeficiente de amortecimento e
a constante elástica. A solução para regime subamortecido (quando há oscilações) tem a forma
onde
é a taxa de amortecimento e
a frequência angular amortecida. A “amplitude” das oscilações no tempo
é o envelope
. Portanto a razão pedida é
com
sendo o tempo correspondente a 37 ciclos.
Passo 3
Fórmulas importantes e definição das quantidades que usaremos:
Taxa de amortecimento
Taxa de amortecimento
Frequência natural (sem amortecimento)
Frequência angular amortecida
Período da oscilação amortecida
Tempo correspondente a 37 ciclos
E finalmente a razão procurada
Passo 4
Converter unidades para o sistema SI (essencial para cálculos):
Massa:
Massa:
Coeficiente de amortecimento:
Passo 5
Calcular
:
Interpretação:
mede a taxa exponencial de decaimento da amplitude (unidade
).
Passo 6
Calcular
:
Passo 7
Calcular
(frequência amortecida):
Observação: o amortecimento é fraco (
pequeno), por isso
é muito próximo de
.
Passo 8
Calcular o período amortecido
:
Passo 9
Tempo correspondente a 37 ciclos:
Passo 10
Calcular a razão das amplitudes usando o decaimento exponencial:
Alternativa útil: por ciclo a razão é
e a razão após 37 ciclos é
; isso dá o mesmo resultado numérico.
Passo 11
Interpretação final e comentário de ânimo: depois de 37 ciclos a amplitude caiu para cerca de
da amplitude inicial — ou seja, ficou aproximadamente uma quinta parte. Você tá indo bem — passo a passo e sem pânico!