Em um oscilador amortecido, de período igual a 1,5 s e constante de amortecimento igual a 0,6 kg / s, a amplitude decresce de 10 % a cada ciclo. Qual o valor da massa para este oscilador? (4.3 kg)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador amortecido, que é tipo um pêndulo ou mola que perde energia com o tempo. Os dados que foram dados são:
  • Período (T): 1,5 segundos. Isso significa que o tempo para uma oscilação completa é de 1,5 s.
  • Constante de amortecimento ©: 0,6 kg/s. Essa constante mostra o quanto o sistema está perdendo energia por segundo.
  • Amplitude decresce 10% a cada ciclo: A cada oscilação completa, a amplitude (o “tamanho” da oscilação) diminui 10%.
Queremos encontrar o valor da massa (m) desse oscilador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas e exponenciais, que são fundamentais na física para entender sistemas que perdem energia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação entre o período (T) e a frequência angular (ω) em um oscilador amortecido. A fórmula é:
T = 2piomegad
Onde $ \omega_d $ é a frequência angular amortecida. Queremos isolá-la:
omegad
Substituindo o valor de $ T = 1,5 $ s:
omegad = 2piT

Passo 3

Agora, vamos falar sobre como a amplitude decresce. Em um oscilador amortecido, a amplitude em função do tempo é dada por:
A(t) = A0 e^-c2m t
Onde:
  • $ A(t) $ é a amplitude no tempo $ t $.
  • $ A_0 $ é a amplitude inicial.
  • $ c $ é a constante de amortecimento.
  • $ m $ é a massa que queremos encontrar.
Sabemos que a amplitude diminui 10% a cada ciclo, ou seja, a cada período $ T $, a amplitude fica 90% do valor anterior:
A(t)

Passo 4

Vamos substituir $ A(T) $ na equação da amplitude:
A(T)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ A_0 $:
0,9 A0 = A0 e^-c2m T

Passo 5

Para resolver essa equação para $ m $, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
m
Agora, isolando $ m $:
ln(0,9) = -c2m T

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
m = -0,6 times 1,52 ln(0,9)
Primeiro, calculamos o numerador:
0,6 times 1,5 = 0,9
E o denominador:
2 ln(0,9) approx 2 times (-0,10536) = -0,21072
Então:
m = -0,9-0,21072 approx 0,90,21072 approx 4,27 , kg

Resposta

A massa do oscilador é aproximadamente 4,3 kg.

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