Em um oscilador amortecido, de período igual a
e constante de amortecimento igual a
, a amplitude decresce de
a cada ciclo. Qual o valor da massa para este oscilador? (4.3 kg)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador amortecido, que é tipo um pêndulo ou mola que perde energia com o tempo. Os dados que foram dados são:
- Período (T): 1,5 segundos. Isso significa que o tempo para uma oscilação completa é de 1,5 s.
- Constante de amortecimento ©: 0,6 kg/s. Essa constante mostra o quanto o sistema está perdendo energia por segundo.
- Amplitude decresce 10% a cada ciclo: A cada oscilação completa, a amplitude (o “tamanho” da oscilação) diminui 10%.
Queremos encontrar o valor da massa (m) desse oscilador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas e exponenciais, que são fundamentais na física para entender sistemas que perdem energia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação entre o período (T) e a frequência angular (ω) em um oscilador amortecido. A fórmula é:
Onde $ \omega_d $ é a frequência angular amortecida. Queremos isolá-la:
Substituindo o valor de $ T = 1,5 $ s:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre como a amplitude decresce. Em um oscilador amortecido, a amplitude em função do tempo é dada por:
Onde:
- $ A(t) $ é a amplitude no tempo $ t $.
- $ A_0 $ é a amplitude inicial.
- $ c $ é a constante de amortecimento.
- $ m $ é a massa que queremos encontrar.
Sabemos que a amplitude diminui 10% a cada ciclo, ou seja, a cada período $ T $, a amplitude fica 90% do valor anterior:
Passo 4
Vamos substituir $ A(T) $ na equação da amplitude:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ A_0 $:
Passo 5
Para resolver essa equação para $ m $, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Agora, isolando $ m $:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Primeiro, calculamos o numerador:
E o denominador:
Então:
Resposta
A massa do oscilador é aproximadamente 4,3 kg.