-80 Dois fios longos estão no plano x y e conduzem correntes no sentido positivo do eixo x. O fio 1 está em y=10,0 cm e conduz uma corrente de 6,00 A; o fio 2 está em y=5,00 cm e conduz uma corrente de 10,0 A. (a) Em termos dos vetores unitários, qual é o campo magnético B na origem? (b) Para que valor de y o campo B é zero? © Se a corrente no fio 1 é invertida, para que valor de y o campo B é zero?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois fios longos que estão no plano $ xy $ e que conduzem correntes elétricas no sentido positivo do eixo $ x $. Precisamos calcular o campo magnético $ \vec{B} $ na origem causado por esses fios. Vamos usar os conceitos de campos magnéticos gerados por fios com corrente, especificamente a Lei de Ampère para fios longos. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam a corrente elétrica com o campo magnético ao redor de um fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que dá o campo magnético gerado por um fio longo que conduz corrente. A fórmula é:
B = mu0 I2pi r phi
Aqui:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $),
  • $ I $ é a corrente elétrica no fio,
  • $ r $ é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até o fio,
  • $ \hat{\phi} $ é o vetor unitário na direção circular em torno do fio, seguindo a regra da mão direita.

Passo 3

Vamos calcular o campo magnético de cada fio na origem e depois somar os vetores resultantes.
Para o fio 1:
  • Corrente $ I_1 = 6,00 , A $,
  • Distância da origem $ r_1 = 10,0 , cm = 0,10 , m $.
O campo magnético gerado pelo fio 1 na origem é:
I1 = 6,00 , A
Para o fio 2:
  • Corrente $ I_2 = 10,0 , A $,
  • Distância da origem $ r_2 = 5,00 , cm = 0,05 , m $.
O campo magnético gerado pelo fio 2 na origem é:
r1 = 10,0 , cm = 0,10 , m

Passo 4

Agora, precisamos considerar as direções dos campos magnéticos. Usando a regra da mão direita:
  • Para o fio 1, o campo magnético $ \vec{B}_1 $ circula no sentido anti-horário em torno do fio.
  • Para o fio 2, o campo magnético $ \vec{B}_2 $ também circula no sentido anti-horário em torno do fio.
Na origem, isso significa que os campos magnéticos dos dois fios apontam na mesma direção vertical (por exemplo, para fora da página ou para dentro, dependendo da posição relativa dos fios). Mas como estão ambos acima do eixo $ y $, os campos contribuem de maneira a somar na mesma direção.

Passo 5

Vamos calcular os valores numéricos dos campos magnéticos.
Para o fio 1:
B1 = 4pi times 10^-7 times 6,002pi times 0,10 = 4 times 10^-7 times 6,000,2 = 24 times 10^-70,2 = 1,2 times 10^-5 , T
Para o fio 2:
B2 = 4pi times 10^-7 times 10,02pi times 0,05 = 4 times 10^-7 times 10,00,1 = 40 times 10^-70,1 = 4,0 times 10^-5 , T

Passo 6

Como os campos magnéticos dos dois fios estão na mesma direção na origem, podemos somá-los diretamente:
Btotal = B1 + B2 = 1,2 times 10^-5 , T + 4,0 times 10^-5 , T = 5,2 times 10^-5 , T

Resposta

O campo magnético na origem é $ \vec{B} = 5,2 \times 10^{-5} , T $ na direção determinada pela soma dos campos dos dois fios.

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