Qual é a pressão que suporta um mergulhador que está à 10 m de profundidade no mar? E quando está à 30 m (suponha \rho_{\text {mar }}=1,0 \frac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^{3}}😉?

Passo 1

O enunciado pede: calcular a pressão que um mergulhador “suporta” (isto é, a pressão exercida sobre ele) quando está a 10\\ \mathrm{m} de profundidade e quando está a 30\\ \mathrm{m}. Dados fornecidos:
  • profundidades: h_1=10\\ \mathrm{m} e h_2=30\\ \mathrm{m};
  • densidade da água do mar: \rho_{\text{mar}}=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}} (esse valor foi dado no enunciado).
    Constantes que vamos usar (valores usuais):
  • aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • pressão atmosférica ao nível do mar: p_0=1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (ou 1{,}01\\ \text{atm} como referência).
    Observação sobre a densidade: a unidade dada no enunciado é \mathrm{g/cm^{3}}. Vamos converter para SI para calcular as pressões.

Passo 2

Fórmula que descreve a pressão em um líquido em equilíbrio (pressão hidrostática):
p = p_0 + \rho g h,
onde:
  • p é a pressão absoluta ao nível considerado (em Pa);
  • p_0 é a pressão na superfície (pressão atmosférica, em Pa);
  • \rho é a densidade do líquido (em \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}});
  • h é a profundidade medida a partir da superfície (em m).
Explicando rápido por que essa fórmula vale: a diferença de pressão entre dois pontos numa coluna de líquido vem do peso da coluna de líquido entre eles. A pressão adicional (manométrica) que a água exerce ao ser submerso a profundidade h é \rho g h. Se quisermos a pressão total (absoluta) devemos somar a pressão atmosférica p_0.
Também é útil saber a relação com atmosferas: 1\\ \text{atm}\approx1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. A pressão manométrica (acréscimo devido à água) costuma equivaler aproximadamente a 1\\ \text{atm} a cada 10\\ \mathrm{m} de água porque \rho g (10\\ \mathrm{m})\approx1000\cdot9{,}8\cdot10\approx9{,}8\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}\approx0{,}97\\ \text{atm}.

Passo 3

Converter \rho_{\text{mar}} para SI:
\rho_{\text{mar}}=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Calcular a pressão adicional (manométrica) a h_1=10\\ \mathrm{m}:
\Delta p_1=\rho g h_1=1000\cdot9{,}8\cdot10=9{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Pressão absoluta a 10\\ \mathrm{m}:
p_1=p_0+\Delta p_1=1{,}01\times10^{5}+9{,}80\times10^{4}=1{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Converter para atmosferas:
\frac{p_1}{1{,}01\times10^{5}}=\frac{1{,}99\times10^{5}}{1{,}01\times10^{5}}\approx1{,}97\\ \text{atm}.
Resumo numérico para 10\\ \mathrm{m}:
  • pressão manométrica: \Delta p_1=9{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} (≈ 0{,}97\\ \text{atm});
  • pressão absoluta: p_1=1{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (≈ 1{,}97\\ \text{atm}).

Passo 4

Calcular a pressão adicional (manométrica) a h_2=30\\ \mathrm{m}:
\Delta p_2=\rho g h_2=1000\cdot9{,}8\cdot30=2{,}94\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Pressão absoluta a 30\\ \mathrm{m}:
p_2=p_0+\Delta p_2=1{,}01\times10^{5}+2{,}94\times10^{5}=3{,}95\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Converter para atmosferas:
\frac{p_2}{1{,}01\times10^{5}}=\frac{3{,}95\times10^{5}}{1{,}01\times10^{5}}\approx3{,}91\\ \text{atm}.
Resumo numérico para 30\\ \mathrm{m}:
  • pressão manométrica: \Delta p_2=2{,}94\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (≈ 2{,}91\\ \text{atm});
  • pressão absoluta: p_2=3{,}95\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (≈ 3{,}91\\ \text{atm}).

Passo 5

Interpretação prática e dica para prova: cada 10\\ \mathrm{m} de água acrescenta aproximadamente 1\\ \text{atm} à pressão absoluta. Assim:
  • a 10\\ \mathrm{m} o mergulhador sente cerca de 2\\ \text{atm} no total (superfície + água);
  • a 30\\ \mathrm{m} sente cerca de 4\\ \text{atm} no total.
    Isso facilita estimativas rápidas quando não se quer fazer contas longas.

Resposta

À 10\\ \mathrm{m}: \Delta p=9{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} (manométrica), \;p=1{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (absoluta) \approx1{,}97\\ \text{atm}.
À 30\\ \mathrm{m}: \Delta p=2{,}94\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (manométrica), \;p=3{,}95\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (absoluta) \approx3{,}91\\ \text{atm}.

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