Um oscilador consiste de um bloco preso a uma mola (
). Em algum tempo
, a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), velocidade e aceleração do bloco são
e
. Calcule (a) a freqüência da oscilação, (b) a massa do bloco e © a amplitude do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um oscilador que é basicamente um bloco ligado a uma mola com constante elástica $ k = 450 , \mathrm{N/m} $. Em um certo momento $ t $, sabemos a posição do bloco $ x = 0,100 , \mathrm{m} $, a velocidade $ v = -13,6 , \mathrm{m/s} $ e a aceleração $ a = -123 , \mathrm{m/s}^2 $. A gente precisa descobrir três coisas:
a) A frequência da oscilação,
b) A massa do bloco,
c) A amplitude do movimento.
a) A frequência da oscilação,
b) A massa do bloco,
c) A amplitude do movimento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que envolvem relações entre posição, velocidade, aceleração e frequência em sistemas como molas e blocos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples, a aceleração $ a $ está relacionada à posição $ x $ pela fórmula:
onde $ \omega $ é a frequência angular. Isso nos ajuda a encontrar $ \omega $, que depois usamos para achar a frequência $ f $.
Passo 3
Vamos usar a equação da aceleração para encontrar $ \omega $:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos $ \omega $, podemos achar a frequência $ f $ usando a relação:
Então:
Substituindo:
Passo 5
Para encontrar a massa $ m $ do bloco, usamos a relação entre a constante da mola $ k $, $ \omega $ e $ m $:
Rearranjando para $ m $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Por último, vamos determinar a amplitude $ A $ do movimento. No movimento harmônico simples, a velocidade máxima $ v_{max} $ está relacionada à amplitude e à frequência angular por:
No nosso caso, a velocidade dada $ v = -13,6 , \mathrm{m/s} $ é a velocidade naquele instante, mas como queremos a amplitude, usamos a relação da velocidade máxima. Entretanto, para simplificar, vamos usar a equação geral da velocidade no movimento harmônico:
Rearranjando para $ A $:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A frequência da oscilação é aproximadamente $ 5,58 , \mathrm{Hz} $.
b) A massa do bloco é aproximadamente $ 0,366 , \mathrm{kg} $.
c) A amplitude do movimento é aproximadamente $ 0,400 , \mathrm{m} $.