Um oscilador harmônico simples começa a oscilar em t=0. Após 1 / 4 de período, sua energia cinética é três vezes maior que sua energia potencial. Qual é a fase inicial? Temos
T=12 m v^2 e U=12 K x^2
onde x=A cos (omega t+phi).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um oscilador harmônico simples que começa a oscilar em $ t = 0 t = 0 í T/4 T/4 é T T éê U U é \phi $) desse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as energias cinética e potencial de um oscilador harmônico simples e como elas se relacionam com o tempo e a posição. Vamos usar as seguintes fórmulas fornecidas:
phi
onde a posição $ x $ é dada por:
T = 12 m v^2 e U = 12 K x^2
Aqui, $ A $ é a amplitude, $ \omega $ é a frequência angular, $ t $ é o tempo, e $ \phi $ é a fase inicial que queremos encontrar.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é um oscilador harmônico simples. É um sistema que oscila de forma periódica, como uma mola ou um pêndulo, onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento. A posição $ x $ varia ao longo do tempo conforme a função cosseno.
A energia total do sistema é a soma da energia cinética ($ T x U $). Em um oscilador harmônico, a energia está constantemente sendo trocada entre $ T $ e $ U $.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a velocidade $ v $ do oscilador. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v
Dada a posição $ x = A \cos (\omega t + \phi) $, a derivada será:
v = dxdt

Passo 4

Agora, vamos expressar a energia cinética $ T $ usando a expressão para $ v $:
T
Observamos que o sinal negativo desaparece porque o quadrado de um número negativo é positivo.

Passo 5

Vamos agora escrever a energia potencial $ U $ usando a posição $ x $:
U

Passo 6

A relação entre $ K $, $ m $ e $ \omega $ para um oscilador harmônico simples é dada por:
K
Substituindo na expressão para $ U $:
m

Passo 7

Agora, a questão nos diz que, após um quarto de período ($ t = \frac{T}{4} $), a energia cinética é três vezes a energia potencial:
t = T4
Vamos substituir as expressões de $ T $ e $ U $:
T = 3U
Simplificando:
T

Passo 8

Sabemos que para um período $ T $, a relação com a frequência angular $ \omega $ é:
T
Substituindo isso na expressão dentro do seno e cosseno:
omega
Simplificando:
omega = 2piT

Passo 9

Usando a identidade trigonométrica:
sin( pi2 + phi ) = cos phi e cos( pi2 + phi ) = -sin phi
Substituindo na equação:
cos^2 phi = 3 sin^2 phi

Passo 10

Vamos rearranjar a equação para encontrar uma relação entre $ \cos \phi $ e $ \sin \phi $:
cos phi
Usamos a identidade $ \cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1 $:
sin phi
Expandindo:
cos^2 phi = 3 sin^2 phi
Somando $ 3 \cos^{2} \phi $ em ambos os lados:
cos^2 phi + sin^2 phi = 1
Dividindo por 4:
cos^2 phi = 3 (1 - cos^2 phi)
Tomando a raiz quadrada:
cos^2 phi = 3 - 3 cos^2 phi

Passo 11

As soluções para $ \phi $ que satisfazem $ \cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2} $ ou $ \cos \phi = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ são:
phi
cos phi = raiz32

Resposta

A fase inicial $ \phi $ pode ser:
phi

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