Um oscilador harmônico simples começa a oscilar em
. Após
de período, sua energia cinética é três vezes maior que sua energia potencial. Qual é a fase inicial? Temos
onde
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um oscilador harmônico simples que começa a oscilar em $ t = 0
T/4
T
U
\phi $) desse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as energias cinética e potencial de um oscilador harmônico simples e como elas se relacionam com o tempo e a posição. Vamos usar as seguintes fórmulas fornecidas:
onde a posição $ x $ é dada por:
Aqui, $ A $ é a amplitude, $ \omega $ é a frequência angular, $ t $ é o tempo, e $ \phi $ é a fase inicial que queremos encontrar.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é um oscilador harmônico simples. É um sistema que oscila de forma periódica, como uma mola ou um pêndulo, onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento. A posição $ x $ varia ao longo do tempo conforme a função cosseno.
A energia total do sistema é a soma da energia cinética ($ T
U $). Em um oscilador harmônico, a energia está constantemente sendo trocada entre $ T $ e $ U $.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a velocidade $ v $ do oscilador. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Dada a posição $ x = A \cos (\omega t + \phi) $, a derivada será:
Passo 4
Agora, vamos expressar a energia cinética $ T $ usando a expressão para $ v $:
Observamos que o sinal negativo desaparece porque o quadrado de um número negativo é positivo.
Passo 5
Vamos agora escrever a energia potencial $ U $ usando a posição $ x $:
Passo 6
A relação entre $ K $, $ m $ e $ \omega $ para um oscilador harmônico simples é dada por:
Substituindo na expressão para $ U $:
Passo 7
Agora, a questão nos diz que, após um quarto de período ($ t = \frac{T}{4} $), a energia cinética é três vezes a energia potencial:
Vamos substituir as expressões de $ T $ e $ U $:
Simplificando:
Passo 8
Sabemos que para um período $ T $, a relação com a frequência angular $ \omega $ é:
Substituindo isso na expressão dentro do seno e cosseno:
Simplificando:
Passo 9
Usando a identidade trigonométrica:
Substituindo na equação:
Passo 10
Vamos rearranjar a equação para encontrar uma relação entre $ \cos \phi $ e $ \sin \phi $:
Usamos a identidade $ \cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1 $:
Expandindo:
Somando $ 3 \cos^{2} \phi $ em ambos os lados:
Dividindo por 4:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 11
As soluções para $ \phi $ que satisfazem $ \cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2} $ ou $ \cos \phi = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ são:
Resposta
A fase inicial $ \phi $ pode ser: