A velocidade v de uma partícula que se move sobre um plano xy é dada por v=(6,0t+1,0t^2)i+8,0j, com v em metros por segundo e (t>0) em segundos.
Encontre a velocidade média da partícula no intervalo 0 s a 2,0 s, em termos de vetores unitários e módulo - ângulo.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que a velocidade da partícula varia com o tempo assim:
vec v(t) = l(6,0,t + 1,0,t^2r),hatimath ;+; 8,0,hatjmath
com em segundos. A gente precisa achar a velocidade média entre e s, tanto em forma de vetor (componentes em e ) quanto em módulo – ângulo.
Conteúdo: média de velocidade (cinemática), que é .
O que vamos precisar:
  1. Integrar a velocidade para achar o deslocamento .
  2. Dividir esse deslocamento pelo intervalo de tempo  s.
  3. Transformar o vetor resultante em módulo e direção (ângulo).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o deslocamento em vec v(t)=l(vx(t),,vy(t)r) e em De. Como
De
então
De
Aqui De e .
Para :
- Integramos : .
- Integramos : .
Então
Para :

Passo 3

Agora a velocidade média é o deslocamento dividido pelo tempo total vec vrm med = 12l(De s:
vec vrm med = l(tfrac443timestfrac12r)hatimath ;+;(16timestfrac12)hatjmath = l(tfrac223,,8r),l(hatimath,,hatjmathr) approx (7,33,hatimath + 8,00,hatjmath) m/s
Fazendo a divisão:

Passo 4

Pra tirar o módulo |vec vrm med| = raizl(tfrac223r)^2 + 8^2 = raiztfrac4849 + 64 = raiztfrac484 + 5769 = raiztfrac10609 = raiz10603 approx 10,85 m/s e o ângulo theta = arctan!l(vyvxr) = arctan!l(822/3r) = arctan!l(2422r) approx 47,5^circ com o eixo :
  1. Módulo:
  1. Ângulo (acima do ):

Resposta

Velocidade média em forma vetorial:
boxedvec vrm med = l(tfrac223,hatimath + 8,hatjmathr) m/s
Em módulo e ângulo:
boxed|vec vrm med|approx10,85 m/s, thetaapprox47,5^circ

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