A velocidade v de uma partícula que se move sobre um plano xy é dada por v=(6,0t+1,0t^2)i+8,0j, com v em metros por segundo e (t>0) em segundos.
Em que instante o módulo da velocidade da partícula yale 10,0 m/s?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a velocidade de uma partícula no plano xy é
vec v = (6,0,t + 1,0,t^2),hatimath + 8,0,hatjmath,, t>0,
O que a questão pede é: em que instante t o módulo |vec v| vale 10,0,m/s?
Isso é conteúdo de cinemática vetorial: vamos precisar
1) saber como calcular o módulo de um vetor no plano,
2) montar a equação |vec v|=10,
3) e resolver essa equação para t.

Passo 2

Como a gente já viu em geometria analítica, o módulo de um vetor vec v=(vx,vy) no plano é
|vec v|=raizvx^2 + vy^2,
Aqui vx = 6t + t^2 (já que 6,0t + 1,0t² é a mesma coisa) e vy=8.
Então impomos
raiz(6t + t^2)^2 + 8^2 = 10,
Pra ficar menos feio, vamos elevar ao quadrado os dois lados (lembrando que 10>0):
(6t + t^2)^2 + 64 = 100,

Passo 3

Diminuindo 100–64, a gente tem
(t^2 + 6t)^2 = 36,
Logo
t^2 + 6t = pm 6,
Isso gera dois casos:
  1. t^2 + 6t = +6;;Rightarrow;;t^2 + 6t - 6 = 0.
    Aplicando a fórmula de Bhaskara:
    t = -6 pm raiz6^2 - 4cdot1cdot(-6)2 = -6 pm raiz36 + 242 = -6 pm raiz602 = -3 pm raiz15,
    Dessas, t = -3 - raiz15 é negativo, não serve (porque t>0).
    Então fica t = -3 + raiz15approx -3 + 3,873 = 0,873,s.
  2. t^2 + 6t = -6;;Rightarrow;;t^2 + 6t + 6 = 0.
    O discriminante é 36 - 24 = 12, então as raízes são
    t = -3 pm raiz3approx -3 pm 1,732,,
    ambas negativas.
Portanto o único t>0 que faz |vec v|=10,m/s é
t = -3 + raiz15approx 0,873 s,

Resposta

O instante em que o módulo da velocidade vale 10,0,m/s é
boxedt = -3 + raiz15approx 0,87 s

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