Um oscilador constituido por uma mola de massa desprezível e constante elástica \mathrm{K}= 27 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e um bloco de massa \mathrm{m}=3 \mathrm{~kg}, está imerso em um fluido viscoso com constante de amortecimento \mathrm{b}=0.9 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Uma força periódica \mathrm{F}(\mathrm{t})=\mathrm{F}_{0 \cos }(\omega ext t ) é aplicada ao bloco, sendo \mathrm{F}_{0}=10.8 \mathrm{~N}.
Determine a amplitude de oscilação, no regime estacionário, para \omega ext =0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Interprete fisicamente este resultado.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa–mola com amortecimento viscoso, sob força externa periódica. Temos:
mola com constante elástica k=27,N/m,
massa do bloco m=3,kg,
coeficiente de amortecimento b=0,9,kg/s,
força externa F(t)=F_0\cos(\omega_{\rm ext}t) com F_0=10,8,N.
Pede-se a amplitude de oscilação em regime estacionário para \omega_{\rm ext}=0. Vamos usar a solução estacionária do oscilador forçado amortecido.

Passo 2

A equação de movimento é
m\ddot x + b\dot x + kx = F_0\cos(\omega_{\rm ext}t).
Em regime estacionário, a amplitude A da resposta forçada satisfaz
A(\omega_{\rm ext}) =\frac{F_0}{\sqrt{\bigl(k - m\omega_{\rm ext}^2\bigr)^2 + (b\,\omega_{\rm ext})^2}}.

Passo 3

Agora fazemos \omega_{\rm ext}=0. Nesse caso os termos com \omega_{\rm ext} desaparecem na raiz:
A(0) =\frac{F_0}{\sqrt{\bigl(k - m\cdot0^2\bigr)^2 + (b\cdot0)^2}} =\frac{F_0}{\sqrt{k^2}}.

Passo 4

Como k>0, temos \sqrt{k^2}=k. Então
A(0)=\frac{F_0}{k} =\frac{10,8}{27} =0{,}4\text{ m}.

Passo 5

Fisicamente, \omega_{\rm ext}=0 significa força constante F_0. Em regime estacionário o sistema chega ao equilíbrio estático, em que a mola estica uma distância F_0/k. Logo a amplitude de oscilação (na verdade deslocamento estático) é 0,4,m.

Resposta

A amplitude é 0{,}4,m.

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