Questão 12

Determine as componentes real e imaginária da derivada temporal de \mathrm{Z}(\mathrm{t})=e^{i 3 \pi t} \mathrm{no} instante \mathrm{t}=0.25 \mathrm{~s}, com até duas casas decimais.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
Z(t)=e^{i3\pi t}
e pede as componentes real e imaginária da sua derivada temporal em t=0,25\,\text{s}. Vamos usar o fato de que
\frac{d}{dt}e^{i\omega t}=i\,\omega\,e^{i\omega t},
onde aqui \omega=3\pi.

Passo 2

Calculamos diretamente a derivada:
\frac{dZ}{dt} =\frac{d}{dt}e^{i3\pi t} = i\,3\pi\,e^{i3\pi t}.

Passo 3

Escrevendo
e^{i3\pi t}=\cos(3\pi t)+i\sin(3\pi t),
temos
\frac{dZ}{dt} = i\,3\pi\bigl[\cos(3\pi t)+i\sin(3\pi t)\bigr] = -3\pi\sin(3\pi t) + i\,3\pi\cos(3\pi t).
Portanto,
\Re\!\Bigl\{\frac{dZ}{dt}\Bigr\} = -3\pi\sin(3\pi t), \quad \Im\!\Bigl\{\frac{dZ}{dt}\Bigr\} = 3\pi\cos(3\pi t).

Passo 4

Em t=0,25 temos 3\pi t=3\pi/4. Sabendo que
\sin\bigl(3\pi/4\bigr)=\frac{\sqrt2}{2}, \quad \cos\bigl(3\pi/4\bigr)=-\frac{\sqrt2}{2},
segue
\Re\!\Bigl\{\frac{dZ}{dt}\Bigr\}_{t=0,25} = -3\pi\frac{\sqrt2}{2}, \quad \Im\!\Bigl\{\frac{dZ}{dt}\Bigr\}_{t=0,25} = 3\pi\Bigl(-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr).
Numericamente, com duas casas decimais,
-3\pi\frac{\sqrt2}{2}\approx -6,66, \quad 3\pi\Bigl(-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)\approx -6,66.

Resposta

\Re\{\dot Z(0,25)\}\approx -6,66,\quad \Im\{\dot Z(0,25)\}\approx -6,66.

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