Para um oscilador em seu estado fundamental, calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre e , onde é a amplitude clássica de oscilação. Obtenha um resultado numérico e compare com o resultado clássico.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos um oscilador harmônico quântico no estado fundamental e queremos achar a probabilidade de achar a partícula entre e , onde é a amplitude clássica (ou seja, o “alcance” máximo que a partícula teria na visão clássica).
Conteúdo da matéria:
Função de onda do oscilador harmônico no estado fundamental
Cálculo de probabilidade via integral de
Uso da função erro (erf) para integrar Gaussiana
Probabilidade clássica para o oscilador harmônico
Coisas que vamos precisar:
A forma de (normalizada)
Saber que a probabilidade quântica é
Definição da função erro
Distribuição clássica para comparação
Passo 2
Primeiro, a parte quântica. A função de onda no estado fundamental do oscilador harmônico é
A probabilidade de achar a partícula entre e é
Para resolver esse tipo de integral, a gente usa a definição da função erro:
Fazendo a mudança de variável
trm max =A2raizmomegahbar
o limite A = raiz2Emomega^2 e para o estado fundamental E=tfrac12hbaromega ;Rightarrow; A=raizhbarmomega, vira
Agora a parte clássica. No regime clássico, a partícula passa mais tempo perto das extremidades ( Prm cl(x) =1piraizA^2-x^2, -A<= x<= A ), mas a densidade de probabilidade de achar em Prm cl;,0to A/2 =integral0^A/2dxpiraizA^2-x^2 =1pil[arcsin!l(tfracxAr)r]0^A/2 =1pi,arcsin!l(tfrac12r) =1pi,pi6 =16approx0,1667 é
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Passo 4
Bora ao valor numérico da parte quântica. Sabemos que