Para um oscilador em seu estado fundamental, calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e A / 2, onde A é a amplitude clássica de oscilação. Obtenha um resultado numérico e compare com o resultado clássico.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos um oscilador harmônico quântico no estado fundamental e queremos achar a probabilidade de achar a partícula entre e , onde é a amplitude clássica (ou seja, o “alcance” máximo que a partícula teria na visão clássica).
Conteúdo da matéria:
  • Função de onda do oscilador harmônico no estado fundamental
  • Cálculo de probabilidade via integral de
  • Uso da função erro (erf) para integrar Gaussiana
  • Probabilidade clássica para o oscilador harmônico
Coisas que vamos precisar:
  1. A forma de (normalizada)
  2. Saber que a probabilidade quântica é
  3. Definição da função erro
  4. Distribuição clássica para comparação

Passo 2

Primeiro, a parte quântica. A função de onda no estado fundamental do oscilador harmônico é
psi0(x) ;=; (momegapihbar)^!1/4 exp!l(-momega,x^22hbarr)
A probabilidade de achar a partícula entre Prm Q = integral0^A/2 l|psi0(x)r|^2,dx =integral0^A/2 raizmomegapihbar ;e^-momega,x^2hbar;dx e erf(z)=2raizpiintegral0^z e^-t^2,dt é
t = xraizmomegahbar Longrightarrow dx = raizhbarmomega,dt,
Para resolver esse tipo de integral, a gente usa a definição da função erro:
Fazendo a mudança de variável
trm max =A2raizmomegahbar
o limite A = raiz2Emomega^2 e para o estado fundamental E=tfrac12hbaromega ;Rightarrow; A=raizhbarmomega, vira
trm max =12raizmomegahbar;raizhbarmomega =12
Só que, lembrando a amplitude clássica
Prm Q =integral0^1/2 raizmomegapihbar ;e^-t^2;raizhbarmomega,dt =1raizpiintegral0^1/2 e^-t^2,dt =12,erf!l(tfrac12r)
vemos que
Então a integral fica

Passo 3

Agora a parte clássica. No regime clássico, a partícula passa mais tempo perto das extremidades ( Prm cl(x) =1piraizA^2-x^2, -A<= x<= A ), mas a densidade de probabilidade de achar em Prm cl;,0to A/2 =integral0^A/2dxpiraizA^2-x^2 =1pil[arcsin!l(tfracxAr)r]0^A/2 =1pi,arcsin!l(tfrac12r) =1pi,pi6 =16approx0,1667 é
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Passo 4

Bora ao valor numérico da parte quântica. Sabemos que

Resposta

P(0≤x≤A/2) quântica ≃ 0,2603
P(0≤x≤A/2) clássica = 1/6 ≃ 0,1667

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