Resolver as equações diferenciais ou íntegro-diferenciais pela transformada de Laplace, para t >= 0.
2 d id t+16 i+10,02 integral0^t i(t) d t=300, i(0)=1 e i^prime(0)=142

Passo 1

Beleza, a gente tem uma equação que mistura derivada e integral de i(t):
2,didt+16,i(t)+10,02integral0^t i(tau),dtau=300, i(0)=1,;i'(0)=142
Conteúdo: Transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades:
- Li'(t)=sI(s)-i(0)
- Lintegral0^t i(tau)dtau=I(s)s
Tudo para transformar a equação em álgebra no domínio de s.

Passo 2

Aplicar Lcdot em cada termo:
  1. L2,i'(t)=2(sI(s)-i(0))=2[sI(s)-1].
  2. L16,i(t)=16,I(s).
  3. Como 10,02=50, L50integral0^t i(tau)dtau=50I(s)s
    Do lado direito, L300=300/s.
Então a transformada da equação fica:
2[sI(s)-1]+16I(s)+50I(s)s=300s

Passo 3

Agora a gente agrupa tudo que é I(s):
2sI(s)-2+16I(s)+50sI(s)=300s
Juntando os coeficientes de I(s):
I(s)(2s+16+50s)=300s+2
No lado direito, 300s+2=300+2ss. Então
I(s)=300+2ss(2s+16+50s)=300+2s2s^2+16s+50

Passo 4

Simplifica e prepara para inversa. Note que 300+2s=2(s+150) e 2s^2+16s+50=2(s^2+8s+25), logo
I(s)=s+150s^2+8s+25
Completa o quadrado no denominador: s^2+8s+25=(s+4)^2+9. E escreve o numerador como (s+4)+146.
I(s)=s+4(s+4)^2+3^2+146(s+4)^2+3^2
Agora usa as inversas conhecidas:
  • L^-1tfracs+4(s+4)^2+3^2=e^-4tcos(3t)
  • L^-1tfrac146(s+4)^2+3^2=tfrac1463e^-4tsin(3t)

Resposta

boxedi(t)=e^-4tcos(3t)+1463,e^-4tsin(3t)

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