Questāo 2: (3,5 pts) Uma amostra de uma substância sintética possui uma massa igual a 2 kg e sua densidade e 1,5 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, quando se encontra a 95^{\circ} \mathrm{C}. Essa amostra é mergulhada em um volume de ägua cuja massa e igual a m_{\text {agua }}=0,5 \mathrm{~kg} e que se encontra a T=5^{\circ} \mathrm{C}.
On valores do calor especifico da amostra e da água sāo, respectivamente, iguais a
\begin{gathered} c_{\text {amontrit }}=900 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{~K}) \\\ c_{\text {Aguin }}=4186 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{~K}^{\prime}\right) \end{gathered}
e o coeficiente de dilataçāo linear da amostra é
a=500 \times 10^{-5} C^{-1}
Admitindo-se que não existe perda de calor para fora do sistema formado pela amostra e pela massa de água, calcule:
a) A temperatura de equilibrio do sistema;
b) Os volumes da amostra antes e depois do equilibrio térmico com a água;
c) A densidade da amostra quando atingir este equilíbrio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
Dados:
  • Massa da amostra (substância sintética): m_{\text{a}}=2\\ \mathrm{kg}.
  • Densidade inicial da amostra (à 95^\circ\mathrm{C}): \rho_{0}=1{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Temperatura inicial da amostra: T_{\text{a,0}}=95^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água: m_{\text{w}}=0{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{w,0}}=5^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico da amostra: c_{\text{a}}=900\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • Calor específico da água: c_{\text{w}}=4186\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • Coeficiente de dilatação linear da amostra: \alpha=500\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}=0{,}005\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O enunciado pede:
a) A temperatura de equilíbrio T_f do sistema (amostra + água), supondo que não há perda de calor para o ambiente.
b) Os volumes da amostra antes e depois do equilíbrio: V_0 e V_f.
c) A densidade da amostra no equilíbrio: \rho_f.

Passo 2

Ideia e equação de conservação de energia (comentário didático):
  • Como o sistema amostra+água é isolado termicamente (admitido no enunciado), a energia térmica perdida pela amostra ao resfriar-se vai para a água, que aquece. Ou seja:
\text{(calor perdido pela amostra)}=\text{(calor ganho pela água)}.á
  • O calor trocado por uma substância que muda de temperatura sem mudança de fase é dado por Q=m\;c\;\Delta T, onde:
    • Q é o calor trocado (em J),
    • m é a massa (em kg),
    • c é o calor específico (em \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})),
    • \Delta T é a variação de temperatura (em K ou ^\circ\mathrm{C}; as duas escalas têm mesma diferença de unidade).
  • Para a amostra, a variação é \Delta T_{\text{a}}=T_{\text{a,0}}-T_f (ela perde calor se T_f<T_{\text{a,0}}).
  • Para a água, a variação é \Delta T_{\text{w}}=T_f-T_{\text{w,0}} (a água ganha calor se T_f>T_{\text{w,0}}).
Logo a equação de equilíbrio de energia fica:
m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}\,(T_{\text{a,0}}-T_f)=m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\,(T_f-T_{\text{w,0}}).

Passo 3

Resolver a equação para T_f (aqui ensino passo a passo como isolar T_f):
Parto da equação
m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}\,(T_{\text{a,0}}-T_f)=m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\,(T_f-T_{\text{w,0}}).
Abro os parênteses:
m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}\,T_{\text{a,0}}-m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}\,T_f = m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\,T_f - m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\,T_{\text{w,0}}.
Agrupo os termos com T_f num lado e os demais no outro:
m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}\,T_{\text{a,0}} + m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\,T_{\text{w,0}} = m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}\,T_f + m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\,T_f.
Fatoro T_f no lado direito:
m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}\,T_{\text{a,0}} + m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\,T_{\text{w,0}} = \bigl(m_{\text{a}}\,c_{\text{a}} + m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\bigr)\,T_f.
Finalmente isolo T_f:
T_f=\frac{m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}\,T_{\text{a,0}} + m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\,T_{\text{w,0}}}{m_{\text{a}}\,c_{\text{a}} + m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}}.

Passo 4

Substituir os números e calcular T_f (faço as contas passo a passo sem pular etapas):
Calculo os produtos:
m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}=2\cdot900=1800\\ \mathrm{J}/\mathrm{K},
m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}=0{,}5\cdot4186=2093\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}.
Calculo o numerador:
m_{\text{a}}\,c_{\text{a}}\,T_{\text{a,0}}=1800\cdot95=171000\\ \mathrm{J},
m_{\text{w}}\,c_{\text{w}}\,T_{\text{w,0}}=2093\cdot5=10465\\ \mathrm{J}.
Soma do numerador:
171000+10465=181465\\ \mathrm{J}.
Denominador:
1800+2093=3893\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}.
Logo
T_f=\frac{181465}{3893}\approx46{,}61^\circ\mathrm{C}.
Interpretação curta: a temperatura de equilíbrio fica entre 95°C e 5°C, mais próxima de 95°C se a amostra tivesse muito maior capacidade térmica; aqui a água tem capacidade por massa relativamente grande, por isso o equilíbrio ficou em torno de 46{,}6^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o volume inicial da amostra V_0:
A relação massa/densidade dá o volume:
V_0=\frac{m_{\text{a}}}{\rho_{0}}=\frac{2}{1{,}5\times10^{3}}\\ \mathrm{m}^{3}.
Faço a divisão:
V_0=\frac{2}{1500}=\frac{4}{3000}=\frac{1}{750}=0{,}001333\ldots\\ \mathrm{m}^{3}.
Posso escrever com três algarismos significativos:
V_0\approx1{,}333\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 6

Como a amostra muda de temperatura, seu volume muda por dilatação térmica. Explico a fórmula:
  • Para dilatação linear (variação de comprimento), vale \Delta L=\alpha L_0 \Delta T, onde \alpha é o coeficiente linear.
  • Para um sólido isotrópico (mesmas expansões em todas as direções), a variação de volume aproximada, para pequenas variações de temperatura, é \Delta V \approx 3\alpha V_0 \Delta T. Isto vem da ideia de que V\propto L^3, e linearizando para pequenas \Delta T. Assim o coeficiente volumétrico efetivo é \beta\approx 3\alpha.
  • Aqui vou assumir a amostra isotrópica (procedimento padrão quando só se dá \alpha).
Portanto:
V_f=V_0\bigl(1+\beta\Delta T\bigr)=V_0\bigl(1+3\alpha\,(T_f-T_{\text{a,0}})\bigr).
Observe que se T_f<T_{\text{a,0}} então T_f-T_{\text{a,0}}<0 e o volume diminui (contração).

Passo 7

Substituir valores para achar V_f (faço as contas detalhadas):
Primeiro calculo o coeficiente volumétrico \beta:
\beta=3\alpha=3\cdot0{,}005=0{,}015\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
A variação de temperatura da amostra:
\Delta T=T_f-T_{\text{a,0}}=46{,}613-95=-48{,}387\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Usei o valor não arredondado intermediário; para apresentação usei 46{,}61^\circ\mathrm{C}.)
Agora:
1+\beta\Delta T = 1 + 0{,}015\cdot(-48{,}387)=1-0{,}725805=0{,}274195.
Então
V_f=V_0\cdot0{,}274195.
Como V_0\approx1{,}333\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}:
V_f\approx1{,}333\times10^{-3}\cdot0{,}274195\approx3{,}656\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}.
Em notação decimal: V_f\approx0{,}0003656\\ \mathrm{m}^{3}.
Comentário: o volume diminuiu bastante porque o coeficiente linear \alpha dado é relativamente grande; se a amostra fosse um material com \alpha menor, a contração seria menos pronunciada.

Passo 8

Calcular a densidade final \rho_f:
A massa da amostra não muda, então
\rho_f=\frac{m_{\text{a}}}{V_f}.
Substituindo:
\rho_f=\frac{2}{3{,}656\times10^{-4}}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\approx5{,}472\times10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Em forma decimal: \rho_f\approx5472\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Interpretação rápida: como o volume diminuiu, a densidade aumentou (massa constante / volume menor).

Resposta

T_f=46{,}61^\circ\mathrm{C}
V_0=1{,}333\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3} e V_f=3{,}656\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}
\rho_f=5{,}472\times10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}

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