Questāo 2: (3,5 pts) Uma amostra de uma substância sintética possui uma massa igual a 2 kg e sua densidade e
, quando se encontra a
. Essa amostra é mergulhada em um volume de ägua cuja massa e igual a
e que se encontra a
.
On valores do calor especifico da amostra e da água sāo, respectivamente, iguais a
e o coeficiente de dilataçāo linear da amostra é
Admitindo-se que não existe perda de calor para fora do sistema formado pela amostra e pela massa de água, calcule:
a) A temperatura de equilibrio do sistema;
b) Os volumes da amostra antes e depois do equilibrio térmico com a água;
c) A densidade da amostra quando atingir este equilíbrio.
a) A temperatura de equilibrio do sistema;
b) Os volumes da amostra antes e depois do equilibrio térmico com a água;
c) A densidade da amostra quando atingir este equilíbrio.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
Dados:
- Massa da amostra (substância sintética):
. - Densidade inicial da amostra (à
): . - Temperatura inicial da amostra:
. - Massa da água:
. - Temperatura inicial da água:
. - Calor específico da amostra:
. - Calor específico da água:
. - Coeficiente de dilatação linear da amostra:
.
O enunciado pede:
a) A temperatura de equilíbrio do sistema (amostra + água), supondo que não há perda de calor para o ambiente.
b) Os volumes da amostra antes e depois do equilíbrio: e
.
c) A densidade da amostra no equilíbrio: .
a) A temperatura de equilíbrio
b) Os volumes da amostra antes e depois do equilíbrio:
c) A densidade da amostra no equilíbrio:
Passo 2
Ideia e equação de conservação de energia (comentário didático):
- Como o sistema amostra+água é isolado termicamente (admitido no enunciado), a energia térmica perdida pela amostra ao resfriar-se vai para a água, que aquece. Ou seja:
- O calor trocado por uma substância que muda de temperatura sem mudança de fase é dado por
, onde: -
é o calor trocado (em J), -
é a massa (em kg), -
é o calor específico (em ), -
é a variação de temperatura (em K ou ; as duas escalas têm mesma diferença de unidade).
-
- Para a amostra, a variação é
(ela perde calor se ). - Para a água, a variação é
(a água ganha calor se ).
Logo a equação de equilíbrio de energia fica:
Passo 3
Resolver a equação para
(aqui ensino passo a passo como isolar
):
Parto da equação
Abro os parênteses:
Agrupo os termos com
num lado e os demais no outro:
Fatoro
no lado direito:
Finalmente isolo
:
Passo 4
Substituir os números e calcular
(faço as contas passo a passo sem pular etapas):
Calculo os produtos:
Calculo o numerador:
Soma do numerador:
Denominador:
Logo
Interpretação curta: a temperatura de equilíbrio fica entre 95°C e 5°C, mais próxima de 95°C se a amostra tivesse muito maior capacidade térmica; aqui a água tem capacidade por massa relativamente grande, por isso o equilíbrio ficou em torno de
.
Passo 5
Calcular o volume inicial da amostra
:
A relação massa/densidade dá o volume:
Faço a divisão:
Posso escrever com três algarismos significativos:
Passo 6
Como a amostra muda de temperatura, seu volume muda por dilatação térmica. Explico a fórmula:
- Para dilatação linear (variação de comprimento), vale
, onde é o coeficiente linear. - Para um sólido isotrópico (mesmas expansões em todas as direções), a variação de volume aproximada, para pequenas variações de temperatura, é
. Isto vem da ideia de que , e linearizando para pequenas . Assim o coeficiente volumétrico efetivo é . - Aqui vou assumir a amostra isotrópica (procedimento padrão quando só se dá
).
Portanto:
Observe que se
então
e o volume diminui (contração).
Passo 7
Substituir valores para achar
(faço as contas detalhadas):
Primeiro calculo o coeficiente volumétrico
:
A variação de temperatura da amostra:
(Usei o valor não arredondado intermediário; para apresentação usei
.)
Agora:
Então
Como
:
Em notação decimal:
.
Comentário: o volume diminuiu bastante porque o coeficiente linear
dado é relativamente grande; se a amostra fosse um material com
menor, a contração seria menos pronunciada.
Passo 8
Calcular a densidade final
:
A massa da amostra não muda, então
Substituindo:
Em forma decimal:
.
Interpretação rápida: como o volume diminuiu, a densidade aumentou (massa constante / volume menor).