Uma máquina de Carnot que trablha em ciclos absorve 5.000 J de calor de um reservatório a 227^{\circ} \mathrm{C}, realiza trabalho e descarta calor para um reservatório a 27^{\circ} \mathrm{C}. De acordo com o que foi exposto, determine a quantidade de calor rejeitada, o trabalho realizado e a eficiância dessa máquina?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Quantidades fornecidas:
    • Calor absorvido do reservatório quente: \,Q_h=5000\\ \mathrm{J}.
    • Temperatura do reservatório quente: \,227^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do reservatório frio: \,27^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede:
    • A quantidade de calor rejeitada \,Q_c.
    • O trabalho realizado por ciclo \,W.
    • A eficiência da máquina \,\eta.

Passo 2

Converter as temperaturas de Celsius para Kelvin (essencial para fórmulas térmicas). A conversão é simples: somar 273.
T = \theta + 273
onde \theta é a temperatura em graus Celsius e T em kelvin. Aplicando:
T_h = 227 + 273 = 500\\ \mathrm{K}
T_c = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}

Passo 3

Explicar a relação que vamos usar para uma máquina de Carnot (máquina reversível ideal). Dois fatos importantes e fáceis:
  • Em um ciclo de Carnot reversível, a variação total de entropia é zero; isso leva à relação
\frac{Q_h}{T_h}=\frac{Q_c}{T_c},
onde Q_h é o calor absorvido do reservatório quente, Q_c é o calor rejeitado ao reservatório frio, T_h e T_c são as temperaturas absolutas (em kelvin) dos reservatórios.
  • A eficiência \eta de uma máquina térmica é definida como trabalho útil dividido pelo calor absorvido:
\eta=\frac{W}{Q_h}.
Como o trabalho por ciclo é a diferença entre o calor absorvido e o rejeitado, W=Q_h-Q_c, podemos relacionar eficiência de Carnot com as temperaturas:
\eta=1-\frac{Q_c}{Q_h}.
Usando a relação de entropia obtemos a fórmula clássica da eficiência de Carnot:
\eta=1-\frac{T_c}{T_h}.
Aqui explicito o significado de cada símbolo para não restar dúvida:
  • \eta: eficiência (adimensional, frequentemente dado em porcentagem).
  • W: trabalho realizado por ciclo (em joules).
  • Q_h, Q_c: calor absorvido e rejeitado (em joules).
  • T_h, T_c: temperaturas absolutas dos reservatórios (em kelvin).

Passo 4

Calcular numericamente a eficiência usando \,T_h=500\\ \mathrm{K} e \,T_c=300\\ \mathrm{K}:
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{300}{500}.
Fazendo a divisão:
\frac{300}{500} = 0,60.
Logo
\eta = 1 - 0,60 = 0,40.
Expressando em porcentagem: \eta = 40\%.

Passo 5

Calcular o trabalho realizado por ciclo. Usamos \,W=\eta\,Q_h. Substituindo \eta=0,40 e \,Q_h=5000\\ \mathrm{J}:
W = 0,40 \times 5000\\ \mathrm{J} = 2000\\ \mathrm{J}.
Expliquei: isso significa que, de cada \,5000\\ \mathrm{J} absorvidos, \,2000\\ \mathrm{J} são convertidos em trabalho útil.

Passo 6

Calcular o calor rejeitado \,Q_c. Pode-se usar Q_c=Q_h-W ou a relação direta Q_c = Q_h\frac{T_c}{T_h}. Vou mostrar os dois (devem dar o mesmo):
  • Pela diferença:
Q_c = Q_h - W = 5000\\ \mathrm{J} - 2000\\ \mathrm{J} = 3000\\ \mathrm{J}.
  • Pela razão de temperaturas:
Q_c = Q_h\frac{T_c}{T_h}=5000\\ \mathrm{J}\times\frac{300}{500}=5000\\ \mathrm{J}\times0,60=3000\\ \mathrm{J}.
Confere: \,Q_c=3000\\ \mathrm{J}.

Resposta

Q_c = 3000\\ \mathrm{J}
W = 2000\\ \mathrm{J}
\eta = 0,40 = 40\%

Exercícios relacionados