Para um oscilador forçado no regime permanente e em ressonância, prove que:
a) A energia dissipada no resistor em um ciclo completo é dado por
U_{d i s}=-\pi \frac{V_{0}^{2}}{\omega R}
b) e que a energia fornecida pela fonte em um ciclo completo é dada pelo mesmo módulo, porém positiva.

Passo 1

O enunciado trata de um circuito RLC forçado no regime permanente em condição de ressonância, ou seja, a reatância indutiva cancela a capacitiva e a impedância resultante é puramente resistiva de valor R. Precisamos calcular, em um ciclo completo de duração T=2\pi/\omega:
– a energia dissipada no resistor, definida como
U_{dis}=\int_{0}^{T}u_{R}(t)\,i(t)\,\mathrm{d}t,
– e a energia fornecida pela fonte,
U_{forn}=\int_{0}^{T}u_{fonte}(t)\,i(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Em ressonância a impedância total é Z=R, logo a corrente de regime permanente é defasada em zero e vale
i(t)=\frac{V_{0}}{R}\,\sin(\omega t).

Passo 3

No resistor a lei de Ohm dá a tensão
u_{R}(t)=-R\,i(t),
onde o sinal negativo indica queda de potencial no sentido da corrente. Assim a potência instantânea no resistor é
p_{R}(t)=u_{R}(t)\,i(t)=-R\,i^{2}(t).

Passo 4

Substituindo i(t) em p_{R}(t) e integrando em um ciclo 0\le t\le T:
U_{dis} =\int_{0}^{T}p_{R}(t)\,\mathrm{d}t =-R\int_{0}^{T}\Bigl(\frac{V_{0}}{R}\Bigr)^{2}\sin^{2}(\omega t)\,\mathrm{d}t =-\frac{V_{0}^{2}}{R}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,\mathrm{d}t.
Como
\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,\mathrm{d}t=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega},
vem
U_{dis} =-\frac{V_{0}^{2}}{R}\,\frac{\pi}{\omega} =-\pi\,\frac{V_{0}^{2}}{\omega\,R}.

Passo 5

A tensão da fonte é u_{fonte}(t)=V_{0}\sin(\omega t), logo a potência instantânea fornecida é
p_{forn}(t)=u_{fonte}(t)\,i(t) =\frac{V_{0}^{2}}{R}\,\sin^{2}(\omega t).
Integrando em um ciclo:
U_{forn} =\int_{0}^{T}p_{forn}(t)\,\mathrm{d}t =\frac{V_{0}^{2}}{R}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,\mathrm{d}t =\frac{V_{0}^{2}}{R}\,\frac{\pi}{\omega} =+\pi\,\frac{V_{0}^{2}}{\omega\,R}.

Resposta

a) \displaystyle U_{dis}=-\pi\,\frac{V_{0}^{2}}{\omega\,R}.
b) \displaystyle U_{forn}=+\pi\,\frac{V_{0}^{2}}{\omega\,R}.

Exercícios relacionados