QUESTÃO 5: (1,4 ponto) Um menino está parado ao lado de um carrossel de massa M=400 \mathrm{~kg} e raio \mathrm{R}=3 \mathrm{~m}. O carrossel gira livremente com uma velocidade angular \omega_{0}=0,5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Atraído pelo brinquedo, o menino salta radialmente (em direção ao centro), passando a girar junto com o carrossel, na sua borda. Considere o carrossel como um disco uniforme (lсм=MR²/2). Calcule:
a) o módulo do momento angular do carrossel antes do salto do menino;
b) a velocidade angular do conjunto após o salto do menino.

Passo 1

O enunciado descreve um carrossel uniforme de massa M=400\:\mathrm{kg} e raio R=3\:\mathrm{m} girando com \omega_0=0{,}5\:\mathrm{rad/s}. Um menino de massa m pula para a borda do disco, sem atrito externo, de modo que o momento angular total se conserva. Para resolver usamos:
– Momento de inércia do disco em relação ao eixo central:
I=\frac12\,M\,R^2.
– Conservação do momento angular:
L_{\rm inicial}=L_{\rm final}.

Passo 2

Calcular o momento de inércia do carrossel e seu momento angular inicial.
I=\frac12\,M\,R^2=\frac12\cdot400\cdot3^2=1800\:\mathrm{kg\cdot m^2},
L_0=I\,\omega_0=1800\cdot0{,}5=900\:\mathrm{kg\cdot m^2/s}.

Passo 3

Após o salto, o sistema disc o+menino tem momento de inércia
I_{\rm tot}=I+m\,R^2.
Pela conservação de momento angular,
I\,\omega_0=(I+mR^2)\,\omega_f \quad\Longrightarrow\quad \omega_f=\frac{I\,\omega_0}{I+m\,R^2}.
Para obter o valor numérico de \omega_f seria necessário conhecer m, massa do menino, que não foi fornecida.

Resposta

a) L_0=900\:\mathrm{kg\cdot m^2/s}.
b) \displaystyle \omega_f=\frac{I\,\omega_0}{I+m\,R^2}. Não é possível obter valor numérico sem o valor de m.

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