Seja f uma função escalar e \vec{A} um campo vetorial
(a) Mostre a identidade vetorial \vec{\nabla} \cdot(f \vec{A})=f(\vec{\nabla} \cdot \vec{A})+\vec{A} \cdot(\vec{\nabla} f)
(b) Integre sobre um volume ambos os lados e use o teorema do divergente para mostrar que \int_{E} f(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) d \tau=-\int_{E} \vec{A} \cdot(\vec{\nabla} f) d \tau+\oint_{S} f \vec{A} \cdot d \vec{a}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pedidos:
  • Dada uma função escalar f (ou seja, f\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}) e um campo vetorial \vec{A} (ou seja, \vec{A}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3).
  • (a) Mostrar a identidade vetorial
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})=f(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})+\vec{A}\cdot(\vec{\nabla} f).
  • (b) Integrar ambos os lados da identidade anterior sobre um volume E com superfície fechada S=\partial E e usar o teorema do divergente (teorema de Gauss) para mostrar que
\int_{E} f(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\,d\tau=-\int_{E}\vec{A}\cdot(\vec{\nabla} f)\,d\tau+\oint_{S} f\vec{A}\cdot d\vec{a}.
Informações relevantes: d\tau é o elemento de volume e d\vec{a}=\hat{n}\,dS é o elemento de área orientado pela normal externa da superfície S.

Passo 2

Vou recordar / explicar as definições básicas que vou usar (assim fica claro o que cada símbolo significa).
  • O gradiente de f, \vec{\nabla} f, é o vetor das derivadas parciais:
\vec{\nabla} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Ele aponta na direção de maior aumento de f.
  • A divergência de um campo vetorial \vec{V}=(V_x,V_y,V_z) é a soma das derivadas parciais das componentes:
\vec{\nabla}\cdot\vec{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}.
  • O produto escalar entre vetores \vec{U}=(U_x,U_y,U_z) e \vec{V}=(V_x,V_y,V_z) é
\vec{U}\cdot\vec{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z.
  • Regra do produto para derivadas parciais: \dfrac{\partial}{\partial x}(fg)=f\,\dfrac{\partial g}{\partial x}+g\,\dfrac{\partial f}{\partial x}, e análoga para y,z.
Com isso, estou pronto para provar a identidade componente a componente.

Passo 3

Escrevo o campo \vec{A} em componentes cartesianas:
\vec{A}=(A_x,A_y,A_z).
Então o produto escalar f\vec{A} tem componentes (fA_x,fA_y,fA_z). A divergência de f\vec{A} é, por definição,
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})=\frac{\partial}{\partial x}(fA_x)+\frac{\partial}{\partial y}(fA_y)+\frac{\partial}{\partial z}(fA_z).

Passo 4

Aplico a regra do produto em cada termo (faça mentalmente como se estivesse derivando f(x,y,z)\cdot A_x(x,y,z) em relação a x, etc.). Assim:
\frac{\partial}{\partial x}(fA_x)=f\,\frac{\partial A_x}{\partial x}+A_x\,\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y}(fA_y)=f\,\frac{\partial A_y}{\partial y}+A_y\,\frac{\partial f}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}(fA_z)=f\,\frac{\partial A_z}{\partial z}+A_z\,\frac{\partial f}{\partial z}.

Passo 5

Somo os três resultados do passo anterior:
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})= f\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right) + \left(A_x\frac{\partial f}{\partial x}+A_y\frac{\partial f}{\partial y}+A_z\frac{\partial f}{\partial z}\right).

Passo 6

Agora reconheço os termos escritos acima em notação vetorial:
  • O termo entre parênteses multiplicado por f é f(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}).
  • O segundo conjunto de termos é exatamente o produto escalar \vec{A}\cdot(\vec{\nabla} f).
Portanto obtenho a identidade desejada:
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})=f(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})+\vec{A}\cdot(\vec{\nabla} f).

Passo 7

Passo para a parte (b): integrar ambos os lados da identidade acima sobre o volume E. Como a integral é linear, temos
\int_{E}\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})\,d\tau = \int_{E} f(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\,d\tau + \int_{E} \vec{A}\cdot(\vec{\nabla} f)\,d\tau.

Passo 8

Agora uso o teorema do divergente (teorema de Gauss). Ele diz que, para um campo vetorial razoável \vec{V},
\int_{E}\vec{\nabla}\cdot\vec{V}\,d\tau=\oint_{S}\vec{V}\cdot d\vec{a},
onde d\vec{a}=\hat{n}\,dS é o elemento de área apontando para fora. Aplicando com \vec{V}=f\vec{A}, obtemos
\int_{E}\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})\,d\tau=\oint_{S} f\vec{A}\cdot d\vec{a}.

Passo 9

Substituo o resultado do passo 8 na igualdade do passo 7:
\oint_{S} f\vec{A}\cdot d\vec{a} = \int_{E} f(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\,d\tau + \int_{E} \vec{A}\cdot(\vec{\nabla} f)\,d\tau.
Agora isolando o termo \int_{E} f(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\,d\tau e passando \int_{E} \vec{A}\cdot(\vec{\nabla} f)\,d\tau para o outro lado, obtenho
\int_{E} f(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\,d\tau = -\int_{E} \vec{A}\cdot(\vec{\nabla} f)\,d\tau +\oint_{S} f\vec{A}\cdot d\vec{a}.

Passo 10

Interpretação rápida (para fixar): essa fórmula é uma versão vetorial da integração por partes — transforma a integral volumétrica de f\,\nabla\cdot\vec{A} em uma integral volumétrica de -\vec{A}\cdot\nabla f mais um termo de contorno na superfície. É muito útil em física e em derivação de formas fracas de equações diferenciais.

Resposta

\int_{E} f(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\,d\tau=-\int_{E}\vec{A}\cdot(\vec{\nabla} f)\,d\tau+\oint_{S} f\vec{A}\cdot d\vec{a}.

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