Seja
uma função escalar e
um campo vetorial
(a) Mostre a identidade vetorial
(b) Integre sobre um volume ambos os lados e use o teorema do divergente para mostrar que
(a) Mostre a identidade vetorial
(b) Integre sobre um volume ambos os lados e use o teorema do divergente para mostrar que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pedidos:
- Dada uma função escalar
(ou seja, ) e um campo vetorial (ou seja, ). - (a) Mostrar a identidade vetorial
- (b) Integrar ambos os lados da identidade anterior sobre um volume
com superfície fechada e usar o teorema do divergente (teorema de Gauss) para mostrar que
Informações relevantes:
é o elemento de volume e
é o elemento de área orientado pela normal externa da superfície
.
Passo 2
Vou recordar / explicar as definições básicas que vou usar (assim fica claro o que cada símbolo significa).
- O gradiente de
, , é o vetor das derivadas parciais:
Ele aponta na direção de maior aumento de
.
- A divergência de um campo vetorial
é a soma das derivadas parciais das componentes:
- O produto escalar entre vetores
e é
- Regra do produto para derivadas parciais:
, e análoga para .
Com isso, estou pronto para provar a identidade componente a componente.
Passo 3
Escrevo o campo
em componentes cartesianas:
Então o produto escalar
tem componentes
. A divergência de
é, por definição,
Passo 4
Aplico a regra do produto em cada termo (faça mentalmente como se estivesse derivando
em relação a
, etc.). Assim:
Passo 5
Somo os três resultados do passo anterior:
Passo 6
Agora reconheço os termos escritos acima em notação vetorial:
- O termo entre parênteses multiplicado por
é . - O segundo conjunto de termos é exatamente o produto escalar
.
Portanto obtenho a identidade desejada:
Passo 7
Passo para a parte (b): integrar ambos os lados da identidade acima sobre o volume
. Como a integral é linear, temos
Passo 8
Agora uso o teorema do divergente (teorema de Gauss). Ele diz que, para um campo vetorial razoável
,
onde
é o elemento de área apontando para fora. Aplicando com
, obtemos
Passo 9
Substituo o resultado do passo 8 na igualdade do passo 7:
Agora isolando o termo
e passando
para o outro lado, obtenho
Passo 10
Interpretação rápida (para fixar): essa fórmula é uma versão vetorial da integração por partes — transforma a integral volumétrica de
em uma integral volumétrica de
mais um termo de contorno na superfície. É muito útil em física e em derivação de formas fracas de equações diferenciais.