Três campos vetoriais são dados por
. Determine:
A componente vetorial
ao longo de
.
A componente vetorial
Passo 1
O enunciado dá três vetores; vou listar os que importam (peguei estes do enunciado) e dizer claramente o que é pedido:
-
. -
.
O que se pede: determinar a componente vetorial deao longo de . Ou seja, encontrar o vetor projeção de na direção de .
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicadinha): a componente vetorial (projeção vetorial) de
ao longo de
é o vetor paralelo a
que representa "quanto de
" está na direção de
. A fórmula prática é
Explicando cada parte:
-
é o produto escalar entre e . Para vetores com componentes, calcula-se multiplicando componentes correspondentes e somando. -
é o quadrado do comprimento (norma) de ; se então . - O quociente
é um escalar que diz quanto do vetor devemos tomar para obter a projeção.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Primeiro escrevo as componentes:
O produto escalar é
Passo 4
Calcular
:
(Se precisasse de
, seria
.)
Passo 5
Aplicar a fórmula da projeção:
Multiplicando o escalar pelas componentes de
:
Passo 6
Verificação rápida e interpretação (útil na prova): a diferença
deve ser ortogonal a
. Calculando o produto escalar verifica-se que é zero, então a projeção está correta. Em palavras: a resposta encontrada é o vetor de
que fica exatamente na direção de
.