Três campos vetoriais são dados por \vec{P}=2 \hat{x}-\hat{z} ; \vec{Q}=2 \hat{x}-\hat{y}+2 \hat{z} \mathrm{e} \vec{R}=2 \hat{x}-3 \hat{y}+\hat{z}. Determine:
A componente vetorial \vec{P} ao longo de \vec{Q}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores; vou listar os que importam (peguei estes do enunciado) e dizer claramente o que é pedido:
  • \vec{P} = 2\hat{x} - \hat{z}.
  • \vec{Q} = 2\hat{x} - \hat{y} + 2\hat{z}.
    O que se pede: determinar a componente vetorial de \vec{P} ao longo de \vec{Q}. Ou seja, encontrar o vetor projeção de \vec{P} na direção de \vec{Q}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicadinha): a componente vetorial (projeção vetorial) de \vec{P} ao longo de \vec{Q} é o vetor paralelo a \vec{Q} que representa "quanto de \vec{P}" está na direção de \vec{Q}. A fórmula prática é
\operatorname{proj}_{\vec{Q}}\vec{P}=\frac{\vec{P}\cdot\vec{Q}}{|\vec{Q}|^{2}}\,\vec{Q}.
Explicando cada parte:
  • \vec{P}\cdot\vec{Q} é o produto escalar entre \vec{P} e \vec{Q}. Para vetores com componentes, calcula-se multiplicando componentes correspondentes e somando.
  • |\vec{Q}|^{2} é o quadrado do comprimento (norma) de \vec{Q}; se \vec{Q}=(q_x,q_y,q_z) então |\vec{Q}|^{2}=q_x^{2}+q_y^{2}+q_z^{2}.
  • O quociente \dfrac{\vec{P}\cdot\vec{Q}}{|\vec{Q}|^{2}} é um escalar que diz quanto do vetor \vec{Q} devemos tomar para obter a projeção.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{P}\cdot\vec{Q}. Primeiro escrevo as componentes:
\vec{P}=(2,0,-1),\qquad \vec{Q}=(2,-1,2).
O produto escalar é
\vec{P}\cdot\vec{Q}=2\cdot2 + 0\cdot(-1) + (-1)\cdot2 = 4 + 0 - 2 = 2.

Passo 4

Calcular |\vec{Q}|^{2}:
|\vec{Q}|^{2}=2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}=4+1+4=9.
(Se precisasse de |\vec{Q}|, seria |\vec{Q}|=\sqrt{9}=3.)

Passo 5

Aplicar a fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{\vec{Q}}\vec{P}=\frac{\vec{P}\cdot\vec{Q}}{|\vec{Q}|^{2}}\vec{Q}=\frac{2}{9}\,\vec{Q}.
Multiplicando o escalar pelas componentes de \vec{Q}:
\operatorname{proj}_{\vec{Q}}\vec{P}=\frac{2}{9}(2\hat{x}-\hat{y}+2\hat{z})=\frac{4}{9}\hat{x}-\frac{2}{9}\hat{y}+\frac{4}{9}\hat{z}.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação (útil na prova): a diferença \vec{P}-\operatorname{proj}_{\vec{Q}}\vec{P} deve ser ortogonal a \vec{Q}. Calculando o produto escalar verifica-se que é zero, então a projeção está correta. Em palavras: a resposta encontrada é o vetor de \vec{P} que fica exatamente na direção de \vec{Q}.

Resposta

\dfrac{4}{9}\hat{x}-\dfrac{2}{9}\hat{y}+\dfrac{4}{9}\hat{z}

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