3- Um oscilador fracamente amortecido (gamma / 2 ll omega0) perde metade de sua energia inicial após n períodos.
a) Calcule o fator de amortecimento gamma.
b) mostre que o sistema oscila com frequência igual a raiz1-1 / 4 pi^2 n^2 vezes a frequència do correspondente oscilador nāo aimortecido (MHS).

Passo 1

O enunciado fala de um oscilador fracamente amortecido ( gamma/2llomega0) cuja energia cai pela metade depois de n voltas completas. Precisamos usar a lei de decaimento exponencial da energia no amortecimento e a fórmula da frequência amortecida para:
– a) determinar gamma,
– b) comparar a frequência amortecida omega com omega0.

Passo 2

Energia de um oscilador amortecido decai como
E(t)=E0,e^-gamma t
Depois de n períodos T, t=nT, e o enunciado diz E(nT)=E0/2. Logo
e^-gamma,nT=tfrac12 Longrightarrow gamma,nT=ln2 Longrightarrow gamma=ln2n,T
Como o amortecimento é fraco, tomamos Tapprox2pi/omega0, ficando
gammaapproxln2n,(2pi/omega0) =omega0,ln22pi,n

Passo 3

A frequência angular do regime subamortecido é
omega =raizomega0^2-l(gamma2r)^2
e queremos a razão omega/omega0. Assim
omegaomega0 =raiz1-l(gamma2omega0r)^2

Passo 4

Substituindo gammaapproxomega0ln2/(2pi n) em gamma/(2omega0)
gamma2omega0 =omega0,ln22pi,n,12omega0 =ln24pi,n,
logo
omegaomega0 =raiz1-l(tfracln24pi,nr)^2
Para ngg1 e na prática de exercícios elementares costuma-se aproximar ln2approx1, obtendo
omegaomega0approxraiz1-14pi^2n^2

Resposta

a) gamma=ln2n,Tapproxomega0ln22pi,n
b) omega=omega0raiz1-l(tfracln24pi,nr)^2approxomega0raiz1-14pi^2n^2

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