Sendo
x(t) & =10 cos (pi t)+10 cos (pi t+alpha) & =A cos (pi t+phi)
a) Obtenha A e phi em função de alpha (A=20 cos (alpha / 2) ; phi=alpha / 2);
b) Obtenha os valor de alpha para o qual A=0 (alpha=(2 n+1) pi);
c) Obtenha os valores de alpha para o qual a amplitude A atinja o maior valor possível ( alpha=2 n pi ).

Passo 1

O enunciado dá
x(t)=10cos(pi t)+10cos(pi t+alpha)
e afirma que isso pode ser escrito como
x(t)=Acos(pi t+phi)
O conteúdo aqui é soma de cossenos de mesma frequência, e vamos usar a identidade de soma para escrever em forma de único cosseno, obtendo A e phi em função de alpha.

Passo 2

Aplicamos a identidade
cos u + cos v = 2cosl(tfracu-v2r),cosl(tfracu+v2r)
Aqui u=pi t e v=pi t+alpha, logo
x(t)=10l[cos(pi t)+cos(pi t+alpha)r] =10cdot 2cosl(tfracalpha2r)cosl(pi t+tfracalpha2r)
Portanto
x(t)=20cosl(tfracalpha2r)cosl(pi t+tfracalpha2r),
o que mostra que
A=20cosl(tfracalpha2r), phi=tfracalpha2

Passo 3

Para A=0 precisamos de
20cosl(tfracalpha2r)=0 Longrightarrow cosl(tfracalpha2r)=0 Longrightarrow tfracalpha2=tfracpi2+npi
Logo
alpha=(2n+1)pi

Passo 4

Queremos maximizar a amplitude lvert Arvert=20lvertcos(tfracalpha2)rvert. O valor máximo de lvertcos(tfracalpha2)rvert é 1, obtido quando
tfracalpha2=npi Longrightarrow alpha=2npi

Resposta

a) A=20cosl(tfracalpha2r),;phi=tfracalpha2
b) alpha=(2n+1)pi
c) alpha=2npi

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