Um oscilador fracamente amortecido perde
de sua energia inicial durante o primeiro ciclo. (a) Quantos ciclos são necessários para dissipar a metade da energia inicial? (b) Durante este intervalo de tempo, de quanto se reduz a amplitude?
Passo 1
Então, meu amigo, o exercício fala de um oscilador fracamente amortecido que perde 1/20 (5 %) de sua energia a cada ciclo. Precisamos descobrir:
• (a) em quantos ciclos a energia chega à metade da original;
• (b) nessa mesma duração, quanto cai a amplitude.
• (a) em quantos ciclos a energia chega à metade da original;
• (b) nessa mesma duração, quanto cai a amplitude.
Conteúdo envolvido: decaimento exponencial em passos discretos (por ciclo), relação entre energia e amplitude e uso de logaritmos para “desempacotar” a potência.
Passo 2
Vamos chamar de
a energia inicial e de
a energia depois de
ciclos. Cada ciclo conserva 19/20 da energia anterior, então
Queremos
. Assim
Para “soltar”
que está num expoente, tomamos logaritmo:
Sabendo que
e
,
Como não dá pra ter meio ciclo completo se queremos dissipar pelo menos metade da energia, a gente arredonda para cima: 14 ciclos.
Passo 3
Agora a amplitude. A energia de um oscilador é proporcional ao quadrado da amplitude (
). Logo, se a energia cai a um fator
, a amplitude cai a um fator
:
Isso quer dizer que a amplitude fica em
da original, ou seja, ela se reduz em cerca de
.
Resposta
(a) São necessários 14 ciclos para que a energia caia à metade.
(b) Nesse tempo a amplitude cai para da original (cerca de 70,7 % de
, uma redução de ~29,3 %).
(b) Nesse tempo a amplitude cai para