Um oscilador fracamente amortecido perde 1 / 2 0 de sua energia inicial durante o primeiro ciclo. (a) Quantos ciclos são necessários para dissipar a metade da energia inicial? (b) Durante este intervalo de tempo, de quanto se reduz a amplitude?

Passo 1

Então, meu amigo, o exercício fala de um oscilador fracamente amortecido que perde 1/20 (5 %) de sua energia a cada ciclo. Precisamos descobrir:
• (a) em quantos ciclos a energia chega à metade da original;
• (b) nessa mesma duração, quanto cai a amplitude.
Conteúdo envolvido: decaimento exponencial em passos discretos (por ciclo), relação entre energia e amplitude e uso de logaritmos para “desempacotar” a potência.

Passo 2

Vamos chamar de En = E0l(tfrac1920r)^n a energia inicial e de l(tfrac1920r)^n = tfrac12 a energia depois de n = ln!l(tfrac12r)ln!l(tfrac1920r) ciclos. Cada ciclo conserva 19/20 da energia anterior, então
n approx -0,6931-0,0513 approx 13,52
Queremos . Assim
Para “soltar” que está num expoente, tomamos logaritmo:
Sabendo que e ,
Como não dá pra ter meio ciclo completo se queremos dissipar pelo menos metade da energia, a gente arredonda para cima: 14 ciclos.

Passo 3

Agora a amplitude. A energia de um oscilador é proporcional ao quadrado da amplitude ( AnA0 = raizEnE0 = raiztfrac12 = 1raiz2 approx 0,707 ). Logo, se a energia cai a um fator , a amplitude cai a um fator :
Isso quer dizer que a amplitude fica em da original, ou seja, ela se reduz em cerca de .

Resposta

(a) São necessários 14 ciclos para que a energia caia à metade.
(b) Nesse tempo a amplitude cai para da original (cerca de 70,7 % de , uma redução de ~29,3 %).

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