Um oscilador fracamente amortecido tem um período de
. Sua amplitude diminui
cada ciclo.
(a) De quanto diminui sua energia média em cada ciclo?
(b) Qual a constante de tempo
?
(c) Qual o valor do fator
?
(d) Em quanto tempo a amplitude diminui para a metade do valor inicial?
(e) Qual a posição da partícula em função de
no tempo para o qual a energia média seja a metade do valor inicial? Considere a constante de fase
.
(a) De quanto diminui sua energia média em cada ciclo?
(b) Qual a constante de tempo
(c) Qual o valor do fator
(d) Em quanto tempo a amplitude diminui para a metade do valor inicial?
(e) Qual a posição da partícula em função de
Passo 1
O enunciado diz: período do oscilador fracamente amortecido
. A cada ciclo a amplitude diminui
, ou seja, depois de um ciclo
vira
. As perguntas são:
(a) quanto diminui a energia média por ciclo;
(b) qual a constante de tempo (onde
);
(c) qual o fator de qualidade ;
(d) tempo para a amplitude ficar metade da inicial;
(e) posição da partícula em função de no instante em que a energia média é metade da inicial, com fase
.
(a) quanto diminui a energia média por ciclo;
(b) qual a constante de tempo
(c) qual o fator de qualidade
(d) tempo para a amplitude ficar metade da inicial;
(e) posição da partícula em função de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. - Fator de amplitude por ciclo:
. - Fraco amortecimento (podemos aproximar
e usar para a frequência angular das oscilações). - Relação energia
amplitude ao quadrado (energia média de um oscilador harmônico é ou proporcional a ).
Passo 2
Conceito e fórmula de decaimento da amplitude no oscilador amortecido fraco:
A solução do oscilador amortecido (para amortecimento leve) tem forma
A solução do oscilador amortecido (para amortecimento leve) tem forma
ou seja, a amplitude envoltória decai como
. Aqui
é a taxa de amortecimento (em
) e
é a frequência angular deslocada (em fraco amortecimento
). Explico: a equação do movimento é
; a solução mostra um fator exponencial
multiplicando a oscilação.
Passo 3
Relação entre redução por ciclo e
:
A cada período a amplitude se reduz em fator
, então
A cada período
Assim
Tomando logaritmo natural:
Agora calculamos numericamente
. Vou mostrar o valor:
Substituindo
:
Passo 4
(a) Queda da energia média por ciclo — teoria:
A energia média de um oscilador harmônico (energia média ao longo de um ciclo) é proporcional ao quadrado da amplitude:
A energia média de um oscilador harmônico (energia média ao longo de um ciclo) é proporcional ao quadrado da amplitude:
Se a amplitude é multiplicada por
num ciclo, a energia é multiplicada por
. Então o fator por ciclo para a energia é
Portanto a energia fica
do valor anterior, isto é, diminui
que corresponde a
por ciclo.
Passo 5
(b) Constante de tempo
:
Definição: . Já encontramos
. Então
Definição:
Interpretação física:
é a escala de tempo na qual o envelope exponencial decai significativamente.
Passo 6
(c) Fator de qualidade
:
Para amortecimento leve usa-se a aproximação
Para amortecimento leve usa-se a aproximação
e
. Como
,
Logo
Significado:
indica “quantos ciclos” a oscilação persiste; um
grande (aqui ≈61) condiz com amortecimento fraco.
Passo 7
(d) Tempo para a amplitude diminuir à metade:
Condição . Como
,
Condição
Logo
Usando
:
Também podemos relacionar com
:
.
Passo 8
(e) Posição no instante em que a energia média é metade da inicial, com
:
Primeiro, achar o instante tal que
. Como
e
, temos
Primeiro, achar o instante
Quer
, portanto
Note que este tempo é metade do tempo para amplitude cair à metade (faz sentido: energia depende do quadrado da amplitude). Numericamente
A posição é, com
,
No instante
, o fator exponencial vale
Portanto, a posição pedida (em função de
) é
Podemos escrever
e
, então explicitamente
Usando os valores numéricos
e
, temos
e
Assim numericamente
Interpretação: no instante em que a energia média já caiu pela metade a amplitude instantânea possível é
, mas o valor da posição depende ainda da fase da oscilação; com
e os números acima obtemos
(um valor pequeno porque o instante escolhido coincide com uma fase quase nula da cosseno).
Resposta
(a) A energia média diminui por ciclo por um fator
, ou seja diminui
por ciclo.
(b) .
(c) .
(d) Tempo para a amplitude reduzir à metade: .
(e) A posição é com
; numericamente
.
(b)
(c)
(d) Tempo para a amplitude reduzir à metade:
(e) A posição é