Um oscilador fracamente amortecido tem um período de 3,0 \mathrm{~s}. Sua amplitude diminui 5,0 \% \mathrm{em} cada ciclo.
(a) De quanto diminui sua energia média em cada ciclo?
(b) Qual a constante de tempo \tau ? (\tau=1 / \gamma)
(c) Qual o valor do fator Q ?
(d) Em quanto tempo a amplitude diminui para a metade do valor inicial?
(e) Qual a posição da partícula em função de A_{0} no tempo para o qual a energia média seja a metade do valor inicial? Considere a constante de fase \delta=0.

Passo 1

O enunciado diz: período do oscilador fracamente amortecido T=3{,}0\\ \mathrm{s}. A cada ciclo a amplitude diminui 5{,}0\%, ou seja, depois de um ciclo A vira 0{,}95\,A. As perguntas são:
(a) quanto diminui a energia média por ciclo;
(b) qual a constante de tempo \tau (onde \tau=1/\gamma);
(c) qual o fator de qualidade Q;
(d) tempo para a amplitude ficar metade da inicial;
(e) posição da partícula em função de A_{0} no instante em que a energia média é metade da inicial, com fase \delta=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • T=3{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Fator de amplitude por ciclo: A(t+T)=0{,}95\,A(t).
  • Fraco amortecimento (podemos aproximar \omega_{\text{d}}\approx\omega_0 e usar \omega_{\text{d}}=2\pi/T para a frequência angular das oscilações).
  • Relação energia \propto amplitude ao quadrado (energia média de um oscilador harmônico é E_{\text{média}}=\tfrac{1}{2}kA^{2}é ou proporcional a A^2).

Passo 2

Conceito e fórmula de decaimento da amplitude no oscilador amortecido fraco:
A solução do oscilador amortecido (para amortecimento leve) tem forma
x(t)=A_0 e^{-\gamma t/2}\cos(\omega_{\text{d}} t+\delta),
ou seja, a amplitude envoltória decai como A(t)=A_0 e^{-\gamma t/2}. Aqui \gamma é a taxa de amortecimento (em \mathrm{s^{-1}}) e \omega_{\text{d}} é a frequência angular deslocada (em fraco amortecimento \omega_{\text{d}}\approx\omega_0). Explico: a equação do movimento é \ddot x+\gamma\dot x+\omega_0^2 x=0; a solução mostra um fator exponencial e^{-\gamma t/2} multiplicando a oscilação.

Passo 3

Relação entre redução por ciclo e \gamma:
A cada período T a amplitude se reduz em fator 0{,}95, então
A(t+T)=A(t)e^{-\gamma T/2}=0{,}95\,A(t).
Assim
e^{-\gamma T/2}=0{,}95.
Tomando logaritmo natural:
-\frac{\gamma T}{2}=\ln(0{,}95)\quad\Rightarrow\quad \gamma=-\frac{2}{T}\ln(0{,}95).
Agora calculamos numericamente \ln(0{,}95). Vou mostrar o valor:
\ln(0{,}95)\approx -0{,}0512932944.
Substituindo T=3{,}0\\ \mathrm{s}:
\gamma=-\frac{2}{3{,}0}\cdot(-0{,}0512932944)=\frac{2}{3}\cdot0{,}0512932944\approx 0{,}0341955\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

(a) Queda da energia média por ciclo — teoria:
A energia média de um oscilador harmônico (energia média ao longo de um ciclo) é proporcional ao quadrado da amplitude:
E(t)\propto A(t)^2.
Se a amplitude é multiplicada por 0{,}95 num ciclo, a energia é multiplicada por (0{,}95)^2. Então o fator por ciclo para a energia é
\left(0{,}95\right)^2=0{,}9025.
Portanto a energia fica 90{,}25\% do valor anterior, isto é, diminui 1-0{,}9025=0{,}0975 que corresponde a 9{,}75\% por ciclo.

Passo 5

(b) Constante de tempo \tau:
Definição: \tau=1/\gamma. Já encontramos \gamma\approx 0{,}0341955\\ \mathrm{s^{-1}}. Então
\tau=\frac{1}{\gamma}\approx\frac{1}{0{,}0341955}\approx 29{,}24\\ \mathrm{s}.
Interpretação física: \tau é a escala de tempo na qual o envelope exponencial decai significativamente.

Passo 6

(c) Fator de qualidade Q:
Para amortecimento leve usa-se a aproximação
Q\approx\frac{\omega_0}{\gamma}\approx\frac{\omega_{\text{d}}}{\gamma},
e \omega_{\text{d}}=\frac{2\pi}{T}. Como T=3{,}0\\ \mathrm{s},
\omega_{\text{d}}=\frac{2\pi}{3{,}0}\approx 2{,}0943951\\ \mathrm{rad/s}.
Logo
Q\approx\frac{2{,}0943951}{0{,}0341955}\approx 61{,}2.
Significado: Q indica “quantos ciclos” a oscilação persiste; um Q grande (aqui ≈61) condiz com amortecimento fraco.

Passo 7

(d) Tempo para a amplitude diminuir à metade:
Condição A(t_{1/2})=A_0/2. Como A(t)=A_0 e^{-\gamma t/2},
e^{-\gamma t_{1/2}/2}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad -\frac{\gamma t_{1/2}}{2}=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2.
Logo
t_{1/2}=\frac{2\ln 2}{\gamma}.
Usando \gamma\approx0{,}0341955\\ \mathrm{s^{-1}}:
t_{1/2}=\frac{2\cdot0{,}693147}{0{,}0341955}\approx 40{,}56\\ \mathrm{s}.
Também podemos relacionar com \tau: t_{1/2}=2\ln 2\cdot\tau.

Passo 8

(e) Posição no instante em que a energia média é metade da inicial, com \delta=0:
Primeiro, achar o instante t_E tal que E(t_E)=\tfrac{1}{2}E_0. Como E(t)\propto A(t)^2 e A(t)=A_0 e^{-\gamma t/2}, temos
E(t)=E_0 e^{-\gamma t}.
Quer e^{-\gamma t_E}=\tfrac{1}{2}, portanto
t_E=\frac{\ln 2}{\gamma}.
Note que este tempo é metade do tempo para amplitude cair à metade (faz sentido: energia depende do quadrado da amplitude). Numericamente
t_E=\frac{0{,}693147}{0{,}0341955}\approx 20{,}28\\ \mathrm{s}.
A posição é, com \delta=0,
x(t)=A_0 e^{-\gamma t/2}\cos(\omega_{\text{d}} t).
No instante t_E, o fator exponencial vale
e^{-\gamma t_E/2}=e^{-(\gamma/2)\cdot(\ln 2/\gamma)}=e^{-\ln 2/2}=2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto, a posição pedida (em função de A_0) é
x(t_E)=\frac{A_0}{\sqrt{2}}\cos\bigl(\omega_{\text{d}} t_E\bigr).
Podemos escrever \omega_{\text{d}}=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{3{,}0} e t_E=\dfrac{\ln 2}{\gamma}, então explicitamente
x(t_E)=\frac{A_0}{\sqrt{2}}\cos\!\left(\frac{2\pi}{3{,}0}\cdot\frac{\ln 2}{\gamma}\right).
Usando os valores numéricos \omega_{\text{d}}\approx 2{,}0943951\\ \mathrm{rad/s} e t_E\approx 20{,}28\\ \mathrm{s}, temos
\omega_{\text{d}} t_E\approx 2{,}0943951\times 20{,}276\approx 42{,}47\\ \mathrm{rad},
e
\cos(42{,}47)\approx 0{,}0535\quad(\text{aprox.}).
Assim numericamente
x(t_E)\approx \frac{A_0}{\sqrt{2}}\times 0{,}0535 \approx 0{,}0378\,A_0.
Interpretação: no instante em que a energia média já caiu pela metade a amplitude instantânea possível é A_0/\sqrt{2}, mas o valor da posição depende ainda da fase da oscilação; com \delta=0 e os números acima obtemos x\approx 0{,}0378\,A_0 (um valor pequeno porque o instante escolhido coincide com uma fase quase nula da cosseno).

Resposta

(a) A energia média diminui por ciclo por um fator (0{,}95)^2=0{,}9025, ou seja diminui 9{,}75\% por ciclo.
(b) \tau=\dfrac{1}{\gamma}\approx 29{,}2\\ \mathrm{s}.
(c) Q\approx \dfrac{\omega_{\text{d}}}{\gamma}\approx 61{,}2.
(d) Tempo para a amplitude reduzir à metade: t_{1/2}=\dfrac{2\ln 2}{\gamma}\approx 40{,}6\\ \mathrm{s}.
(e) A posição é x(t_E)=\dfrac{A_0}{\sqrt{2}}\cos\!\bigl(\omega_{\text{d}}t_E\bigr) com t_E=\dfrac{\ln 2}{\gamma}; numericamente x(t_E)\approx 0{,}0378\,A_0.

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