Considere um oscilador harmônico simples com massa
e constante da mola
. O deslocamento inicial do corpo é de
e a velocidade inicial
. Calcule:
(a) o período e a amplitude;
(b) a constante de fase;
(c) a velocidade e a aceleração máximas;
(d) a energia total;
(e) o tempo, a partir de
, em que o sistema terá energia cinética igual à energia potencial pela primeira vez.
(a) o período e a amplitude;
(b) a constante de fase;
(c) a velocidade e a aceleração máximas;
(d) a energia total;
(e) o tempo, a partir de
Passo 1
Enunciado e dados (o que a questão pede e as informações dadas).
A questão dá um oscilador harmônico com massa e constante da mola
. O deslocamento inicial é
e a velocidade inicial é
. Pergunta-se:
(a) o período e a amplitude;
(b) a constante de fase;
(c) a velocidade máxima e a aceleração máxima;
(d) a energia total do sistema;
(e) o tempo, a partir de , em que a energia cinética será igual à energia potencial pela primeira vez.
A questão dá um oscilador harmônico com massa
(a) o período e a amplitude;
(b) a constante de fase;
(c) a velocidade máxima e a aceleração máxima;
(d) a energia total do sistema;
(e) o tempo, a partir de
Passo 2
Fórmulas básicas e cálculo da frequência angular e do período.
Explicação breve das fórmulas: para um oscilador harmônico simples a frequência angular é dada por
Explicação breve das fórmulas: para um oscilador harmônico simples a frequência angular
onde
é a constante da mola e
a massa. O período
é o tempo de uma oscilação completa e é dado por
Agora calculamos numericamente:
(Arredondarei respostas finais com 3 casas decimais quando fizer sentido.)
Passo 3
Cálculo da amplitude
.
Raciocínio e fórmula: a solução geral no tempo é . A partir de
e
(com
) obtemos as relações
Raciocínio e fórmula: a solução geral no tempo é
Isolando
sem precisar da fase:
Aplicando os números:
Passo 4
Cálculo da constante de fase
(explicando o procedimento e a escolha do quadrante).
Partimos das mesmas relações:
Partimos das mesmas relações:
Dividindo a segunda pela primeira (evita calcular
por tentativa):
Portanto
Cálculo numérico:
Verificação do quadrante (importante): temos
e
. Isso corresponde ao quarto quadrante, onde
é negativo, portanto
está correto (poderia também ser expresso como
se quisesse um ângulo positivo).
Passo 5
Velocidade máxima e aceleração máxima (derivação e cálculo).
Formulas: a velocidade no movimento harmônico é então a magnitude máxima é
Formulas: a velocidade no movimento harmônico é
A aceleração é
então a magnitude máxima é
Agora os valores numéricos com
e
:
Passo 6
Energia total do sistema (explicação e cálculo).
No oscilador harmônico sem atrito a energia mecânica total é constante e pode ser escrita como energia potencial máxima (quando ):
No oscilador harmônico sem atrito a energia mecânica total é constante e pode ser escrita como energia potencial máxima (quando
Também vale
— é só uma verificação. Usando
e
:
Verificação rápida com a outra forma:
coincide, ótimo.
Passo 7
Tempo em que a energia cinética é igual à energia potencial pela primeira vez (planejamento).
Explicação: significa que cada uma vale metade da energia total, então
Explicação:
Portanto precisamos achar o primeiro tempo
tal que
. Dividindo por
:
As soluções básicas para
são
. Precisamos do menor
que satisfaça a equação, e devemos escolher o sinal com base no comportamento inicial (em
,
e
, ou seja,
é positivo e aumentando inicialmente). Assim é esperável que a primeira vez que a magnitude
seja atingida ocorra quando
e com
aumentando até atingir
.
Passo 8
Cálculo numérico do tempo pedido.
Resolvemos
Resolvemos
para o primeiro
. Logo
Substituindo
e
:
Arredondando razoavelmente:
Resposta
(a)
,
(b)
(c) ,
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)