Considere um oscilador harmônico simples com massa m=0,5 \mathrm{~kg} e constante da mola k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O deslocamento inicial do corpo é de x_{0}=+0,015 \mathrm{~m} e a velocidade inicial v_{0}=+0,40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule:
(a) o período e a amplitude;
(b) a constante de fase;
(c) a velocidade e a aceleração máximas;
(d) a energia total;
(e) o tempo, a partir de t=0, em que o sistema terá energia cinética igual à energia potencial pela primeira vez.

Passo 1

Enunciado e dados (o que a questão pede e as informações dadas).
A questão dá um oscilador harmônico com massa \,m=0{,}5\\ \mathrm{kg}\, e constante da mola \,k=200\\ \mathrm{N/m}\,. O deslocamento inicial é \,x_0=+0{,}015\\ \mathrm{m}\, e a velocidade inicial é \,v_0=+0{,}40\\ \mathrm{m/s}\,. Pergunta-se:
(a) o período e a amplitude;
(b) a constante de fase;
(c) a velocidade máxima e a aceleração máxima;
(d) a energia total do sistema;
(e) o tempo, a partir de t=0, em que a energia cinética será igual à energia potencial pela primeira vez.

Passo 2

Fórmulas básicas e cálculo da frequência angular e do período.
Explicação breve das fórmulas: para um oscilador harmônico simples a frequência angular \omega é dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
onde \,k é a constante da mola e \,m a massa. O período \,T é o tempo de uma oscilação completa e é dado por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Agora calculamos numericamente:
\omega=\sqrt{\frac{200}{0{,}5}}=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{rad/s}.
T=\frac{2\pi}{20}=\frac{\pi}{10}\approx0{,}31416\\ \mathrm{s}.
(Arredondarei respostas finais com 3 casas decimais quando fizer sentido.)

Passo 3

Cálculo da amplitude \,A.
Raciocínio e fórmula: a solução geral no tempo é \,x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\,. A partir de x(0)=x_0 e v(0)=v_0 (com v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)) obtemos as relações
x_0=A\cos\varphi,\qquad v_0=-A\omega\sin\varphi.
Isolando A sem precisar da fase:
A^2 = x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2.
Aplicando os números:
\frac{v_0}{\omega}=\frac{0{,}40}{20}=0{,}02\\ \mathrm{m},
A=\sqrt{(0{,}015)^2+(0{,}02)^2}=\sqrt{0{,}000225+0{,}0004}=\sqrt{0{,}000625}=0{,}025\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo da constante de fase \varphi (explicando o procedimento e a escolha do quadrante).
Partimos das mesmas relações:
x_0=A\cos\varphi,\qquad v_0=-A\omega\sin\varphi.
Dividindo a segunda pela primeira (evita calcular \varphi por tentativa):
\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{-v_0/(A\omega)}{x_0/A}=-\frac{v_0}{\omega x_0}.
Portanto
\varphi=\arctan\!\left(-\frac{v_0}{\omega x_0}\right).
Cálculo numérico:
-\frac{v_0}{\omega x_0}=-\frac{0{,}40}{20\cdot 0{,}015}=-\frac{0{,}40}{0{,}30}=-1{,}333\ldots
\varphi=\arctan(-1{,}333\ldots)\approx -0{,}927295\\ \mathrm{rad}.
Verificação do quadrante (importante): temos \cos\varphi=\dfrac{x_0}{A}=\dfrac{0{,}015}{0{,}025}=0{,}6>0 e \sin\varphi=-\dfrac{v_0}{A\omega}=-\dfrac{0{,}40}{0{,}025\cdot20}=-0{,}8<0. Isso corresponde ao quarto quadrante, onde \varphi é negativo, portanto \varphi\approx-0{,}927\\ \mathrm{rad} está correto (poderia também ser expresso como 2\pi-0{,}927 se quisesse um ângulo positivo).

Passo 5

Velocidade máxima e aceleração máxima (derivação e cálculo).
Formulas: a velocidade no movimento harmônico é \,v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\, então a magnitude máxima é
v_{\max}=A\omega.
A aceleração é \,a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)\, então a magnitude máxima é
a_{\max}=A\omega^2.
Agora os valores numéricos com A=0{,}025\\ \mathrm{m} e \omega=20\\ \mathrm{rad/s}:
v_{\max}=0{,}025\cdot 20=0{,}50\\ \mathrm{m/s}.
a_{\max}=0{,}025\cdot 20^2=0{,}025\cdot 400=10{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Energia total do sistema (explicação e cálculo).
No oscilador harmônico sem atrito a energia mecânica total é constante e pode ser escrita como energia potencial máxima (quando x=\pm A):
E=\frac{1}{2}kA^2.
Também vale \,E=\frac{1}{2}m v_{\max}^2 — é só uma verificação. Usando k=200\\ \mathrm{N/m} e A=0{,}025\\ \mathrm{m}:
E=\frac{1}{2}\cdot 200\cdot (0{,}025)^2=\;100\cdot 0{,}000625=0{,}0625\\ \mathrm{J}.
Verificação rápida com a outra forma:
\frac{1}{2}m v_{\max}^2=\frac{1}{2}\cdot 0{,}5\cdot(0{,}50)^2=0{,}0625\\ \mathrm{J},
coincide, ótimo.

Passo 7

Tempo em que a energia cinética é igual à energia potencial pela primeira vez (planejamento).
Explicação: K=U significa que cada uma vale metade da energia total, então
\frac{1}{2}k x^2=\frac{E}{2}\quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{A^2}{2}\quad\Rightarrow\quad |x|=\frac{A}{\sqrt{2}}.
Portanto precisamos achar o primeiro tempo t>0 tal que x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)=\pm \dfrac{A}{\sqrt{2}}. Dividindo por A:
\cos(\omega t+\varphi)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.
As soluções básicas para \cos\theta=+\frac{\sqrt{2}}{2} são \theta=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n. Precisamos do menor t>0 que satisfaça a equação, e devemos escolher o sinal com base no comportamento inicial (em t=0, x(0)=0{,}015 e v(0)=+0{,}40, ou seja, x é positivo e aumentando inicialmente). Assim é esperável que a primeira vez que a magnitude A/\sqrt{2} seja atingida ocorra quando \cos(\omega t+\varphi)=+\frac{\sqrt{2}}{2} e com \omega t+\varphi aumentando até atingir +\frac{\pi}{4}.

Passo 8

Cálculo numérico do tempo pedido.
Resolvemos
\omega t+\varphi=\frac{\pi}{4}
para o primeiro t>0. Logo
t=\frac{\frac{\pi}{4}-\varphi}{\omega}.
Substituindo \varphi\approx-0{,}927295\\ \mathrm{rad} e \omega=20\\ \mathrm{rad/s}:
t=\frac{0{,}785398-(-0{,}927295)}{20}=\frac{1{,}712693}{20}=0{,}0856347\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente:
t\approx0{,}0856\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) T\approx0{,}314\\ \mathrm{s}, A=0{,}025\\ \mathrm{m}
(b) \varphi\approx-0{,}927\\ \mathrm{rad}
(c) v_{\max}=0{,}50\\ \mathrm{m/s}, \;a_{\max}=10{,}0\\ \mathrm{m/s^2}
(d) E=0{,}0625\\ \mathrm{J}
(e) t\approx0{,}0856\\ \mathrm{s}

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