. (Symon 6.15) Considere um anel circular uniforme, de raio a e massa M, sobre o plano x-y e centrado na origem. Considere um ponto P_{0} a uma distância r do centro do anel, numa direção que faz um ângulo \theta com o eixo do anel (eixo z ).
a) Se \theta=0 ( P_{0} sobre o eixo z ), calcule a posição do centro de gravidade ( P_{C G} ) do anel e mostre que o centro de gravidade tende ao centro de massa para r \rightarrow \infty. (Note: P_{C G} é definido como sendo o ponto tal que se toda a massa do corpo estivesse concentrada ali, o campo gravitacional em P_{0} teria o mesmo valor.)
b) Se \theta \neq 0 e supondo que r \gg a, calcule o potencial gravitacional até segunda ordem de aproximação em \frac{a}{r}. (Fórmulas úteis: (1+ x)^{-n} \simeq 1-n x+\frac{1}{2} n(n+1) x^{2}+\ldots \quad, \quad com \quad x \quad \ll \quad 1 e n>0. \left(1-2 b x+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \simeq 1+b x+\frac{1}{2}\left(3 b^{2}-1\right) x^{2}+\ldots, onde x \ll 1 e b é uma constante.)
c) Do resultado do item anterior, calcule as componentes do campo gravitacional no mesmo ponto.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e quais informações são dadas):
  • Temos um anel circular uniforme de raio a e massa M, assente no plano x\!-\!y e centrado na origem.
  • Existe um ponto P_{0} situado a uma distância r do centro do anel; a direção de P_{0} a partir da origem faz um ângulo \theta com o eixo z (eixo do anel).
  • Perguntas:
    a) Para \theta=0 ( P_{0} sobre o eixo z), calcular a posição do centro de gravidade P_{CG} do anel (isto é, a posição ao longo do eixo tal que concentrando toda a massa ali o campo em P_0 seria o mesmo). Mostrar que P_{CG} tende ao centro de massa quando r\to\infty.
    b) Para \theta\neq 0 e supondo r\gg a, calcular o potencial gravitacional em P_0 até segunda ordem em \frac{a}{r}.
    c) A partir do resultado do item (b), calcular as componentes do campo gravitacional no mesmo ponto.
  • Informações úteis que vamos usar: densidade linear uniforme no anel, fórmulas para expansões em séries quando x\ll1 (fornecidas no enunciado), e expressão para potencial/ campo devido a um elemento de massa.

Passo 2

Resolução do item (a): configuração com \theta=0 (ponto no eixo z) e cálculo do campo do anel no eixo.
  1. Posicionamento e simetria: com \theta=0, P_{0} está no eixo z a uma distância \,r da origem, ou seja em z=r. Por simetria o centro de gravidade efetivo P_{CG} também fica sobre o eixo z; chamamos sua coordenada z_{CG}.
  2. Potencial e campo axial do anel: para um anel de raio a e massa M, o potencial gravitacional no ponto sobre o eixo a distância z do centro é
\Phi(z) = -\frac{G M}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}.
Explicação rápida dessa fórmula: cada elemento de massa dá contribuição -G\,dm/distância; todos os elementos têm a mesma distância \sqrt{z^{2}+a^{2}} ao ponto axial, portanto a integral dá -G M/\sqrt{z^{2}+a^{2}}.
  1. Campo axial (componente ao longo de z): o campo gravitacional é \mathbf{g} = -\nabla\Phi. No eixo, só há componente em z, dada por
g_{z}(z) = -\frac{d\Phi}{dz}.
Calculamos a derivada:
\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\right) = -\frac{z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}},
portanto
g_{z}(z) = -\left(-G M\right)\left(-\frac{z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\right) = -\frac{G M z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}.
(O sinal indica direção: para z>0 o campo aponta no sentido negativo de z, ou seja, em direção ao anel.)
  1. Campo do anel no ponto P_{0} (onde z=r): seu módulo é
\left|g_{\text{anel}}\right| = \frac{G M r}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}.
  1. Campo produzido por uma massa pontual M localizada em z=z_{CG} no ponto P_0 (a uma distância d=r-z_{CG} de P_0) tem módulo
\left|g_{\text{pt}}\right| = \frac{G M}{(r-z_{CG})^{2}}.
  1. Definição de P_{CG}: escolher z_{CG} de modo que os módulos (e direções) coincidam, ou seja
\frac{G M}{(r-z_{CG})^{2}}=\frac{G M r}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Cancelando G M obtemos
(r-z_{CG})^{2}=\frac{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}{r}.
  1. Resolvendo para z_{CG}:
r-z_{CG}=\sqrt{\frac{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}{r}} \quad\Longrightarrow\quad z_{CG}=r-\sqrt{\frac{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}{r}}.
Essa é a posição exata (ao longo do eixo z) do centro de gravidade efetivo.
  1. Mostrar que z_{CG}\to 0 quando r\to\infty: fazemos expansão para r\gg a. Primeiro escrevemos
(r^{2}+a^{2})^{3/2}=r^{3}\left(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\right)^{3/2}.
Usando a expansão \,(1+x)^{3/2}\simeq 1+\tfrac{3}{2}x+\ldots para x=\tfrac{a^{2}}{r^{2}}\ll1, obtemos
(r^{2}+a^{2})^{3/2}\simeq r^{3}\left(1+\frac{3}{2}\frac{a^{2}}{r^{2}}\right) = r^{3} + \tfrac{3}{2} r a^{2}.
Então
\frac{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}{r}\simeq r^{2}+\tfrac{3}{2}a^{2}.
Tomando a raiz quadrada (expansão (1+u)^{1/2}\simeq 1+\tfrac{1}{2}u para u\ll1), com u=\tfrac{3}{2}a^{2}/r^{2}, obtemos
\sqrt{\frac{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}{r}}\simeq r\left(1+\frac{3}{4}\frac{a^{2}}{r^{2}}\right) = r + \frac{3}{4}\frac{a^{2}}{r}.
Portanto
z_{CG}=r-\sqrt{\frac{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}{r}}\simeq r-\left(r+\frac{3}{4}\frac{a^{2}}{r}\right) \simeq -\frac{3}{4}\frac{a^{2}}{r}.
Como r\to\infty o termo -\frac{3}{4}\frac{a^{2}}{r}\to 0, logo z_{CG}\to 0. Assim o centro de gravidade efetivo tende ao centro de massa do anel quando r\to\infty.

Passo 3

Resolução do item (b): potencial para \theta\neq0 e expansão até \mathcal{O}\!\left((a/r)^{2}\right) assumindo r\gg a.
  1. Colocação de coordenadas conveniente: escolhemos o eixo z como dado e orientamos a coordenada azimutal \varphi de modo que a projeção de P_{0} no plano x\!-\!y fique em \varphi=0. Assim o ponto P_{0} tem coordenadas cartesianas
P_{0}=(r\sin\theta,\,0,\,r\cos\theta).
Um elemento do anel, com posição parametrizada por \varphi, tem coordenadas
\mathbf{r}'=(a\cos\varphi,\,a\sin\varphi,\,0).
  1. Distância entre P_{0} e elemento do anel: calculamos
\begin{aligned} \big|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\big|^{2} &=(r\sin\theta-a\cos\varphi)^{2}+(-a\sin\varphi)^{2}+(r\cos\theta)^{2}\\\ &=r^{2}+a^{2}-2ar\sin\theta\cos\varphi. \end{aligned}
Portanto
\big|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\big|=\sqrt{r^{2}+a^{2}-2ar\sin\theta\cos\varphi}.
  1. Potencial total como integral sobre o anel: elemento de massa \,dm=\frac{M}{2\pi}\,d\varphi. Logo
\Phi(P_{0})=-G\int \frac{dm}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = -\frac{G M}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{\sqrt{r^{2}+a^{2}-2ar\sin\theta\cos\varphi}}.
  1. Colocando em forma adimensional para expandir: coloque x=\dfrac{a}{r} (pequeno) e fatore r fora da raiz:
\big|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\big|=r\sqrt{1 + x^{2} - 2x\sin\theta\cos\varphi}.
Então
\Phi(P_{0})=-\frac{G M}{r}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \left(1 + x^{2} - 2x\sin\theta\cos\varphi\right)^{-1/2} d\varphi.
  1. Expandir o integrando até ordem x^{2}: usamos a expansão dada no enunciado
\left(1-2bx+x^{2}\right)^{-1/2}\simeq 1 + b x + \frac{1}{2}\big(3b^{2}-1\big)x^{2}+\ldots
aqui identificamos b=\sin\theta\cos\varphi. Assim
\left(1 + x^{2} - 2x\sin\theta\cos\varphi\right)^{-1/2} \simeq 1 + x\sin\theta\cos\varphi + \frac{x^{2}}{2}\big(3\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi -1\big).
  1. Integrar termo a termo em \varphi de 0 a 2\pi:
  • \int_{0}^{2\pi}1\,d\varphi = 2\pi.
  • \int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi =0 assim o termo linear em x desaparece.
  • \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi =\pi, logo
\int_{0}^{2\pi}\big(3\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi -1\big)d\varphi =3\sin^{2}\theta\cdot\pi - 2\pi = \pi\big(3\sin^{2}\theta-2\big).
  1. Substituindo na integral:
\begin{aligned} \Phi(P_{0}) &\simeq -\frac{G M}{r}\cdot\frac{1}{2\pi}\Big[\,2\pi + \frac{x^{2}}{2}\pi\big(3\sin^{2}\theta-2\big)\Big]\\[4pt] &= -\frac{G M}{r}\left[1 + \frac{x^{2}}{4}\big(3\sin^{2}\theta-2\big)\right]. \end{aligned}
  1. Reescrevendo em termos de a e r (lembrando x^{2}=a^{2}/r^{2}):
\boxed{\displaystyle \Phi(P_{0}) \simeq -\frac{G M}{r}\left[1 + \frac{a^{2}}{4r^{2}}\big(3\sin^{2}\theta-2\big)\right], \qquad\text{válido para }r\gg a.}á
Observação: pode-se também escrever a correção em termos de \cos\theta usando 3\sin^{2}\theta-2=-(3\cos^{2}\theta-1), ficando a forma
\Phi(P_{0}) \simeq -\frac{G M}{r} + \frac{G M a^{2}}{4 r^{3}}\big(3\cos^{2}\theta-1\big).]

Passo 4

Resolução do item (c): componentes do campo gravitacional a partir do potencial obtido.
  1. Relação entre campo e potencial: \mathbf{g} = -\nabla\Phi. Como \Phi depende só de r e \theta (independe de \varphi), é conveniente trabalhar em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi). O operador gradiente em esféricas (para função independente de \varphi) é
\nabla\Phi = \frac{\partial\Phi}{\partial r}\,\hat{\mathbf{e}}_{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta}.
Portanto as componentes do campo são
g_{r} = -\frac{\partial\Phi}{\partial r},\qquad g_{\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}.
  1. Usamos a forma conveniente do potencial:
\Phi(r,\theta) \simeq -\frac{G M}{r} + \frac{G M a^{2}}{4 r^{3}}\big(3\cos^{2}\theta-1\big).
Chamamos A=G M para simplificar os cálculos intermediários.
  1. Derivada radial \partial\Phi/\partial r:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial r}\left(-\frac{A}{r}\right) &= \frac{A}{r^{2}},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{A a^{2}}{4 r^{3}}(3\cos^{2}\theta-1)\right) &= \frac{A a^{2}}{4}(3\cos^{2}\theta-1)\cdot\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{-3}\big) = \frac{A a^{2}}{4}(3\cos^{2}\theta-1)\cdot(-3)r^{-4}. \end{aligned}
Somando,
\frac{\partial\Phi}{\partial r} = \frac{A}{r^{2}} - \frac{3 A a^{2}}{4 r^{4}}(3\cos^{2}\theta-1).
Logo
\boxed{\displaystyle g_{r} = -\frac{\partial\Phi}{\partial r} = -\frac{G M}{r^{2}} + \frac{3 G M a^{2}}{4 r^{4}}\big(3\cos^{2}\theta-1\big).}
  1. Derivada angular \partial\Phi/\partial\theta:
    A única parte que depende de \theta é a segunda. Calculamos
\frac{\partial}{\partial\theta}\big(3\cos^{2}\theta-1\big) = 3\cdot 2\cos\theta(-\sin\theta) = -6\sin\theta\cos\theta.
Portanto
\frac{\partial\Phi}{\partial\theta} = \frac{A a^{2}}{4 r^{3}}\cdot(-6\sin\theta\cos\theta) = -\frac{3 A a^{2}}{2 r^{3}}\sin\theta\cos\theta.
Assim
\boxed{\displaystyle g_{\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta} = \frac{3 G M a^{2}}{2 r^{4}}\sin\theta\cos\theta.}
  1. Interpretação dos sinais e ordens: o primeiro termo em g_{r} é o campo monopolar usual -GM/r^{2} (radial para dentro). Os termos proporcionais a a^{2}/r^{4} são correções de ordem (a/r)^{2} (termo quadrupolar) e são os responsáveis pela dependência angular.]

Resposta

\displaystyle z_{CG}=r-\sqrt{\frac{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}{r}}\quad\text{e}\quad z_{CG}\simeq -\frac{3}{4}\frac{a^{2}}{r}\\ \text{para }r\gg a\\ (\Rightarrow z_{CG}\to0).
\displaystyle \Phi(P_{0}) \simeq -\frac{G M}{r}\left[1 + \frac{a^{2}}{4r^{2}}\big(3\sin^{2}\theta-2\big)\right] \quad\text{(válido até ordem }(a/r)^{2}\text{).}áé
\displaystyle g_{r} = -\frac{G M}{r^{2}} + \frac{3 G M a^{2}}{4 r^{4}}\big(3\cos^{2}\theta-1\big),\qquad g_{\theta} = \frac{3 G M a^{2}}{2 r^{4}}\sin\theta\cos\theta.

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