. (Symon 6.15) Considere um anel circular uniforme, de raio a e massa M, sobre o plano x-y e centrado na origem. Considere um ponto P_{0} a uma distância r do centro do anel, numa direção que faz um ângulo \theta com o eixo do anel (eixo z ).
a) Se \theta=0 ( P_{0} sobre o eixo z ), calcule a posição do centro de gravidade ( P_{C G} ) do anel e mostre que o centro de gravidade tende ao centro de massa para r \rightarrow \infty. (Note: P_{C G} é definido como sendo o ponto tal que se toda a massa do corpo estivesse concentrada ali, o campo gravitacional em P_{0} teria o mesmo valor.)
b) Se \theta \neq 0 e supondo que r \gg a, calcule o potencial gravitacional até segunda ordem de aproximação em \frac{a}{r}. (Fórmulas úteis: (1+ x)^{-n} \simeq 1-n x+\frac{1}{2} n(n+1) x^{2}+\ldots \quad, \quad com \quad x \quad \ll \quad 1 e n>0. \left(1-2 b x+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \simeq 1+b x+\frac{1}{2}\left(3 b^{2}-1\right) x^{2}+\ldots, onde x \ll 1 e b é uma constante.)
c) Do resultado do item anterior, calcule as componentes do campo gravitacional no mesmo ponto.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e quais informações são dadas):
Temos um anel circular uniforme de raio a e massa M, assente no plano x\!-\!y e centrado na origem.
Existe um ponto P_{0} situado a uma distância r do centro do anel; a direção de P_{0} a partir da origem faz um ângulo \theta com o eixo z (eixo do anel).
Perguntas:
a) Para \theta=0 (P_{0} sobre o eixo z), calcular a posição do centro de gravidade P_{CG} do anel (isto é, a posição ao longo do eixo tal que concentrando toda a massa ali o campo em P_0 seria o mesmo). Mostrar que P_{CG} tende ao centro de massa quando r\to\infty.
b) Para \theta\neq 0 e supondo r\gg a, calcular o potencial gravitacional em P_0 até segunda ordem em \frac{a}{r}.
c) A partir do resultado do item (b), calcular as componentes do campo gravitacional no mesmo ponto.
Informações úteis que vamos usar: densidade linear uniforme no anel, fórmulas para expansões em séries quando x\ll1 (fornecidas no enunciado), e expressão para potencial/ campo devido a um elemento de massa.
Passo 2
Resolução do item (a): configuração com \theta=0 (ponto no eixo z) e cálculo do campo do anel no eixo.
Posicionamento e simetria: com \theta=0, P_{0} está no eixo z a uma distância \,r da origem, ou seja em z=r. Por simetria o centro de gravidade efetivo P_{CG} também fica sobre o eixo z; chamamos sua coordenada z_{CG}.
Potencial e campo axial do anel: para um anel de raio a e massa M, o potencial gravitacional no ponto sobre o eixo a distância z do centro é
\Phi(z) = -\frac{G M}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}.
Explicação rápida dessa fórmula: cada elemento de massa dá contribuição -G\,dm/distância; todos os elementos têm a mesma distância \sqrt{z^{2}+a^{2}} ao ponto axial, portanto a integral dá -G M/\sqrt{z^{2}+a^{2}}.
Campo axial (componente ao longo de z): o campo gravitacional é \mathbf{g} = -\nabla\Phi. No eixo, só há componente em z, dada por
Como r\to\infty o termo -\frac{3}{4}\frac{a^{2}}{r}\to 0, logo z_{CG}\to 0. Assim o centro de gravidade efetivo tende ao centro de massa do anel quando r\to\infty.
Passo 3
Resolução do item (b): potencial para \theta\neq0 e expansão até \mathcal{O}\!\left((a/r)^{2}\right) assumindo r\gg a.
Colocação de coordenadas conveniente: escolhemos o eixo z como dado e orientamos a coordenada azimutal \varphi de modo que a projeção de P_{0} no plano x\!-\!y fique em \varphi=0. Assim o ponto P_{0} tem coordenadas cartesianas
P_{0}=(r\sin\theta,\,0,\,r\cos\theta).
Um elemento do anel, com posição parametrizada por \varphi, tem coordenadas
\mathbf{r}'=(a\cos\varphi,\,a\sin\varphi,\,0).
Distância entre P_{0} e elemento do anel: calculamos
Observação: pode-se também escrever a correção em termos de \cos\theta usando 3\sin^{2}\theta-2=-(3\cos^{2}\theta-1), ficando a forma
\Phi(P_{0}) \simeq -\frac{G M}{r} + \frac{G M a^{2}}{4 r^{3}}\big(3\cos^{2}\theta-1\big).]
Passo 4
Resolução do item (c): componentes do campo gravitacional a partir do potencial obtido.
Relação entre campo e potencial: \mathbf{g} = -\nabla\Phi. Como \Phi depende só de r e \theta (independe de \varphi), é conveniente trabalhar em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi). O operador gradiente em esféricas (para função independente de \varphi) é
\frac{\partial\Phi}{\partial\theta} = \frac{A a^{2}}{4 r^{3}}\cdot(-6\sin\theta\cos\theta) = -\frac{3 A a^{2}}{2 r^{3}}\sin\theta\cos\theta.
Assim
\boxed{\displaystyle g_{\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta} = \frac{3 G M a^{2}}{2 r^{4}}\sin\theta\cos\theta.}
Interpretação dos sinais e ordens: o primeiro termo em g_{r} é o campo monopolar usual -GM/r^{2} (radial para dentro). Os termos proporcionais a a^{2}/r^{4} são correções de ordem (a/r)^{2} (termo quadrupolar) e são os responsáveis pela dependência angular.]
\displaystyle g_{r} = -\frac{G M}{r^{2}} + \frac{3 G M a^{2}}{4 r^{4}}\big(3\cos^{2}\theta-1\big),\qquad
g_{\theta} = \frac{3 G M a^{2}}{2 r^{4}}\sin\theta\cos\theta.