Considere um satélite de massa m que orbita o planeta de massa M. O satélite está em uma órbita elíptica de semieixo maior a, sendo
  • Distância no periélio: r_{p}=a(1-e)
  • Distância no afélio: r_{a}=a(1+e). Determine:
    (1,0) A razão entre o módulo da velocidade dos asteroides no periélio \left(v_{p}\right) e no afélio \left(v_{a}\right);

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Massa do satélite: m (não precisamos do valor numérico).
  • Massa do planeta: M (não precisamos do valor numérico).
  • Órbita elíptica de semieixo maior a.
  • Distância no periélio: r_{p}=a(1-e).
  • Distância no afélio: r_{a}=a(1+e).
O que a questão pede:
  • Calcular a razão entre os módulos das velocidades no periélio e no afélio, isto é, \dfrac{v_{p}}{v_{a}}.

Passo 2

Qual princípio físico usar e por quê (explicação didática):
  • Para órbitas elípticas, o momento angular (angular momentum) do satélite em torno do planeta é conservado porque a força gravitacional é central (atua na direção do r). A expressão do momento angular em módulo é \mathbf{L}=m\,\mathbf{r}\times\mathbf{v}; em módulo, quando \mathbf{r} e \mathbf{v} são perpendiculares, L = m r v.
  • Nos pontos de periélio e afélio a distância radial r(t) atinge um extremo (mínimo no periélio, máximo no afélio), portanto a componente radial da velocidade é nula ( \dot r=0). Isso significa que a velocidade é puramente tangencial nesses pontos, ou seja, \mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{r} em periélio e afélio. Logo nesse pontos vale L = m r v.
  • Como L é conservado entre dois instantes quaisquer da órbita, podemos relacionar v_p e v_a diretamente usando L.

Passo 3

Aplicando conservação do momento angular nos dois pontos:
  • Momento angular no periélio: L = m\,r_{p}\,v_{p}.
  • Momento angular no afélio: L = m\,r_{a}\,v_{a}.
    Igualando e cancelando m:
m\,r_{p}\,v_{p}=m\,r_{a}\,v_{a} \quad\Rightarrow\quad r_{p}\,v_{p}=r_{a}\,v_{a}.
Logo
\frac{v_{p}}{v_{a}}=\frac{r_{a}}{r_{p}}.

Passo 4

Substituir as expressões dadas de r_{p} e r_{a}:
r_{p}=a(1-e),\qquad r_{a}=a(1+e).
Portanto
\frac{v_{p}}{v_{a}}=\frac{r_{a}}{r_{p}}=\frac{a(1+e)}{a(1-e)}=\frac{1+e}{1-e}.
(Isto já resolve o problema; como verificação opcional, poderia também usar a equação de vis-viva \;v^{2}=GM\!\left(\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{a}\right)\; para calcular v_p e v_a e obter o mesmo resultado após simplificação.)

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo:
  • A razão \dfrac{v_{p}}{v_{a}}=\dfrac{1+e}{1-e} mostra que v_{p}>v_{a} (como esperado: o satélite vai mais rápido no periélio).
  • À medida que a excentricidade e aumenta (órbitas mais alongadas), a diferença de velocidades cresce.
  • Vai dar tudo certo na prova — lembre-se: usar conservação do momento angular nesses pontos extremos é a maneira mais direta.

Resposta

\dfrac{v_{p}}{v_{a}}=\dfrac{1+e}{1-e}

Exercícios relacionados