Considere um satélite de massa m que orbita o planeta de massa
. O satélite está em uma órbita elíptica de semieixo maior
, sendo
- Distância no periélio:
- Distância no afélio:
. Determine:
A razão entre o módulo da velocidade dos asteroides no periélio
e no afélio
;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Massa do satélite:
(não precisamos do valor numérico). - Massa do planeta:
(não precisamos do valor numérico). - Órbita elíptica de semieixo maior
. - Distância no periélio:
. - Distância no afélio:
.
O que a questão pede:
- Calcular a razão entre os módulos das velocidades no periélio e no afélio, isto é,
.
Passo 2
Qual princípio físico usar e por quê (explicação didática):
- Para órbitas elípticas, o momento angular (angular momentum) do satélite em torno do planeta é conservado porque a força gravitacional é central (atua na direção do r). A expressão do momento angular em módulo é
; em módulo, quando e são perpendiculares, . - Nos pontos de periélio e afélio a distância radial
atinge um extremo (mínimo no periélio, máximo no afélio), portanto a componente radial da velocidade é nula ( ). Isso significa que a velocidade é puramente tangencial nesses pontos, ou seja, é perpendicular a em periélio e afélio. Logo nesse pontos vale . - Como
é conservado entre dois instantes quaisquer da órbita, podemos relacionar e diretamente usando .
Passo 3
Aplicando conservação do momento angular nos dois pontos:
- Momento angular no periélio:
. - Momento angular no afélio:
.
Igualando e cancelando:
Logo
Passo 4
Substituir as expressões dadas de
e
:
Portanto
(Isto já resolve o problema; como verificação opcional, poderia também usar a equação de vis-viva
para calcular
e
e obter o mesmo resultado após simplificação.)
Passo 5
Interpretação rápida e incentivo:
- A razão
mostra que (como esperado: o satélite vai mais rápido no periélio). - À medida que a excentricidade
aumenta (órbitas mais alongadas), a diferença de velocidades cresce. - Vai dar tudo certo na prova — lembre-se: usar conservação do momento angular nesses pontos extremos é a maneira mais direta.