Um oscilador harmônico amortecido do tipo massa-mola apresenta um movimento descrito pela forma compacta:
x(t)=A e^{-\gamma t} \cos \left(\omega^{\prime} t+\varphi\right)
mostre:
a) (2,0) A prove de que equação da posição na forma compacta pode ser escrita na forma expandida:
x(t)=e^{-\gamma t}\left[C_{1} \cos \left(\omega^{\prime} t\right)+C_{2} \sin \left(\omega^{\prime} t\right)\right]
b) (1,0) Os valores numéricos de C_{1} e C_{2} e a equação final expandida, para A=0,4 \mathrm{~m}, k=12,5 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, m=0,5 \mathrm{~kg}, \gamma=4 \mathrm{~s}^{-1}, \theta_{0}=\pi / 6 \mathrm{rad}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que a forma compacta
x(t)=A e^{-\gamma t}\cos\!\left(\omega' t+\varphi\right)
pode ser escrita na forma expandida
x(t)=e^{-\gamma t}\left[C_{1}\cos\!\left(\omega' t\right)+C_{2}\sin\!\left(\omega' t\right)\right].
  • (b) Para os valores dados A=0,4\\ \mathrm{m}, k=12,5\\ \mathrm{N/m}, m=0,5\\ \mathrm{kg}, \gamma=4\\ \mathrm{s}^{-1}, \theta_{0}=\pi/6\\ \mathrm{rad} (aqui \theta_{0} corresponde à fase inicial \varphi), calcular numericamente C_{1} e C_{2} e escrever a equação expandida final.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude inicial: A=0,4.
  • Constante elástica: k=12{,}5.
  • Massa: m=0{,}5.
  • Damping (exponencial): \gamma=4.
  • Fase inicial: \varphi=\theta_{0}=\pi/6.
  • A definição usual que será usada: \omega_{0}=\sqrt{k/m} e \omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}} (caso subamortecido).

Passo 2

Vamos fazer a identidade trigonométrica básica que serve de base para (a).
Lembrete da identidade trigonométrica: para quaisquer ângulos a e b,
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Isto é uma fórmula elementar e muito útil: ela expressa o cosseno de uma soma em termos de cossenos e senos separados.
Aplicando essa identidade com a=\omega' t e b=\varphi obtemos
\cos\!\left(\omega' t+\varphi\right)=\cos\!\left(\omega' t\right)\cos\varphi-\sin\!\left(\omega' t\right)\sin\varphi.

Passo 3

Agora multiplico a expressão acima por A e^{-\gamma t} (essa é a forma compacta do enunciado) e fatoro o e^{-\gamma t}:
x(t)=A e^{-\gamma t}\cos\!\left(\omega' t+\varphi\right) = e^{-\gamma t}\left[A\cos\varphi\;\cos\!\left(\omega' t\right)-A\sin\varphi\;\sin\!\left(\omega' t\right)\right].
Comparando com a forma que queremos:
x(t)=e^{-\gamma t}\left[C_{1}\cos\!\left(\omega' t\right)+C_{2}\sin\!\left(\omega' t\right)\right],
vemos que os coeficientes C_{1} e C_{2} devem satisfazer
C_{1}=A\cos\varphi, \qquad C_{2}=-A\sin\varphi.
Isso conclui a prova do item (a): qualquer expressão A e^{-\gamma t}\cos(\omega't+\varphi) pode ser escrita na forma linear em \cos(\omega't) e \sin(\omega't) com C_{1} e C_{2} dados acima.

Passo 4

Agora partimos para (b): calcular numericamente C_{1}, C_{2} e montar a equação expandida para os valores dados.
Primeiro calculo a frequência natural \omega_{0} do oscilador massa-mola (sem amortecimento):
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Substituindo k=12{,}5\\ \mathrm{N/m} e m=0{,}5\\ \mathrm{kg}:
\omega_{0}=\sqrt{\frac{12{,}5}{0{,}5}}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{rad/s}.
Em seguida calculo a frequência amortecida \omega' (caso subamortecido):
\omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}.
Com \omega_{0}=5\\ \mathrm{rad/s} e \gamma=4\\ \mathrm{s}^{-1}:
\omega'=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\\ \mathrm{rad/s}.
Antes de prosseguir é bom checar a condição subamortecida: requer \gamma<\omega_{0}. Aqui \gamma=4 e \omega_{0}=5, logo \gamma<\omega_{0} e o caso é subamortecido — a fórmula usada é consistente.

Passo 5

Calculo agora C_{1} e C_{2} a partir das fórmulas do Passo 3:
C_{1}=A\cos\varphi,\qquad C_{2}=-A\sin\varphi,
com A=0{,}4\\ \mathrm{m} e \varphi=\pi/6.
Avaliação exata usando valores trigonométricos conhecidos:
\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Portanto
C_{1}=0{,}4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=0{,}2\sqrt{3}\\ \mathrm{m}, \qquad C_{2}=-0{,}4\cdot\frac{1}{2}=-0{,}2\\ \mathrm{m}.
Se quiser uma aproximação numérica com 4 casas decimais:
C_{1}\approx 0{,}3464\\ \mathrm{m},\qquad C_{2}=-0{,}2000\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Escrevo a equação expandida final substituindo \gamma=4, \omega'=3 e os C's encontrados:
x(t)=e^{-4t}\bigl[\,0{,}2\sqrt{3}\cos(3t)-0{,}2\sin(3t)\bigr]\\ \mathrm{m}.
Ou, em forma aproximada,
x(t)=e^{-4t}\bigl[\,0{,}3464\cos(3t)-0{,}2000\sin(3t)\bigr]\\ \mathrm{m}.
Pequeno incentivo: pronto — a transformação é só aplicar a identidade trigonométrica e calcular \omega' e os coeficientes; com calma dá certinho.

Resposta

(a) C_{1}=A\cos\varphi,\quad C_{2}=-A\sin\varphi, portanto \displaystyle x(t)=e^{-\gamma t}\left[C_{1}\cos\!\left(\omega' t\right)+C_{2}\sin\!\left(\omega' t\right)\right].
(b) C_{1}=0{,}2\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\\ (\approx 0{,}3464\\ \mathrm{m}),\quad C_{2}=-0{,}2\\ \mathrm{m}.
\displaystyle x(t)=e^{-4t}\bigl[\,0{,}2\sqrt{3}\cos(3t)-0{,}2\sin(3t)\bigr]\\ \mathrm{m}

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