Um oscilador harmônico se move num potencial V(x)=(1 / 2) k x^{2}+c x, onde c é uma constante. Encontrar os autovalores de energia.
Um elétron está confinado num potencial V(x)= (1 / 2) k x^{2}, onde k é uma constante, e está sujeito
para um campo elétrico \epsilon ao longo do eixo x. Encontrar os autovalores de energia.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico unidimensional ao qual foi adicionada uma terminação linear em x. No primeiro caso a constante é c e no segundo caso, para o elétron sujeito a um campo elétrico \epsilon, a linearidade vem de c=-e\epsilon. O conteúdo é completar o quadrado no potencial e reconhecer que, a menos de um deslocamento de origem, volta-se ao oscilador harmônico usual. Vamos precisar do resultado de que um oscilador harmônico com rigidez k tem frequência \omega=\sqrt{k/m} e energias E_n^{(0)}=\hbar\omega\bigl(n+\tfrac12\bigr).

Passo 2

Escrevemos o potencial genérico
V(x)=\tfrac12\,k\,x^2 + c\,x
e completamos o quadrado em x. Note que
\tfrac12\,k\,x^2 + c\,x =\tfrac12\,k\Bigl(x+\frac{c}{k}\Bigr)^2 \;-\;\frac{c^2}{2\,k}.

Passo 3

Definimos a nova coordenada deslocada
y = x + \frac{c}{k},
de modo que o Hamiltoniano fica
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dy^2} +\tfrac12\,k\,y^2 \;-\;\frac{c^2}{2\,k}.
A parte dependente de y é exatamente o oscilador harmônico padrão.

Passo 4

As energias próprias do oscilador harmônico padrão são
E_n^{(0)} = \hbar\omega\Bigl(n+\tfrac12\Bigr),
com \omega=\sqrt{k/m}. O termo -c^2/(2k) simplesmente desloca todas as energias por uma constante.

Passo 5

Logo, para o potencial V(x)=\tfrac12\,k\,x^2 + c\,x obtemos
E_n = \hbar\omega\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\;-\;\frac{c^2}{2\,k}, \quad n=0,1,2,\dots

Passo 6

No caso do elétron com carga -e sujeito a um campo elétrico \epsilon ao longo de x, a terminação linear usa c=-e\epsilon. Substituindo em E_n, vem
E_n = \hbar\omega\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\;-\;\frac{(-\,e\epsilon)^2}{2\,k} = \hbar\omega\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\;-\;\frac{e^2\epsilon^2}{2\,k}.

Resposta

Para V(x)=\tfrac12\,k\,x^2 + c\,x:
E_n = \hbar\omega\Bigl(n+\tfrac12\Bigr) - \frac{c^2}{2k}, \quad n=0,1,2,\dots
Para o elétron no campo \epsilon ( c=-e\epsilon):
E_n = \hbar\omega\Bigl(n+\tfrac12\Bigr) - \frac{e^2\epsilon^2}{2k}, \quad n=0,1,2,\dots

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