Um oscilador harmônico se move num potencial
, onde
é uma constante. Encontrar os autovalores de energia.
Um elétron está confinado num potencial
, onde
é uma constante, e está sujeito
para um campo elétrico
ao longo do eixo
. Encontrar os autovalores de energia.
Um elétron está confinado num potencial
para um campo elétrico
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador harmônico unidimensional ao qual foi adicionada uma terminação linear em
. No primeiro caso a constante é
e no segundo caso, para o elétron sujeito a um campo elétrico
, a linearidade vem de
. O conteúdo é completar o quadrado no potencial e reconhecer que, a menos de um deslocamento de origem, volta-se ao oscilador harmônico usual. Vamos precisar do resultado de que um oscilador harmônico com rigidez
tem frequência
e energias
.
Passo 2
Escrevemos o potencial genérico
e completamos o quadrado em
. Note que
Passo 3
Definimos a nova coordenada deslocada
de modo que o Hamiltoniano fica
A parte dependente de
é exatamente o oscilador harmônico padrão.
Passo 4
As energias próprias do oscilador harmônico padrão são
com
. O termo
simplesmente desloca todas as energias por uma constante.
Passo 5
Logo, para o potencial
obtemos
Passo 6
No caso do elétron com carga
sujeito a um campo elétrico
ao longo de
, a terminação linear usa
. Substituindo em
, vem
Resposta
Para
:
Para o elétron no campo
(
):