- (a) Para um poço de potencial infinito, faça o gráfico da
para
, depois trace a curva de probabilidade clássica de encontrar a partícula. Explique a relação entre as curvas.
(b) Um poço de potencial infinito esta definido entre
e
, com
. Qual é o valor esperado
para o estado fundamental. Encontre esse valor, fazendo uma análise qualitativa.
(c) Para o caso anterior, qual é o
para o estado fundamental? Explique por quê?
(d) Escreva 3 equações de autovalores da mecânica quântica e explique o que elas significam.
(b) Um poço de potencial infinito esta definido entre
(c) Para o caso anterior, qual é o
(d) Escreva 3 equações de autovalores da mecânica quântica e explique o que elas significam.
Passo 1
O enunciado trata de um poço de potencial infinito e de conceitos de probabilidade quântica, valor esperado e equações de autovalor em mecânica quântica.
Em (a) vamos comparar a densidade de probabilidade quântica para
com a probabilidade clássica de encontrar a partícula.
Em (b) e (c) calculamos qualitativamente os valores esperados e
no estado fundamental de um poço assimétrico entre
e
.
Em (d) exibimos três equações de autovalor e explicamos seu significado físico.
Em (a) vamos comparar a densidade de probabilidade quântica
Em (b) e (c) calculamos qualitativamente os valores esperados
Em (d) exibimos três equações de autovalor e explicamos seu significado físico.
Passo 2
(a) No poço infinito de largura
(digamos de
a
), o estado estacionário de ordem
é
logo a densidade de probabilidade é
Para
,
oscila com 10 máximos e 9 nós igualmente espaçados. A probabilidade clássica de encontrar a partícula, supondo que ela se move livremente e com velocidade constante no poço, é uniforme:
Graficamente, a curva quântica fica “ondulada” em torno de
. Em altas energias (
), as oscilações de
se tornam rápidas e a média sobre muitos picos coincide com
(princípio da correspondência).
Passo 3
(b) No poço infinito assimétrico de extensão total
o estado fundamental tem
Como
é simétrica em torno do ponto médio do intervalo, o centro de massa da probabilidade está em
Qualitativamente, a partícula “pesa” mais para o lado onde o vão é maior (
), e o valor exato coincide com o ponto médio do poço em relação ao zero.
Passo 4
(c) O valor esperado do momento é
Como
pode ser escolhida real e a densidade
não conduz corrente líquida, tem-se
. Fisicamente, o estado fundamental não tem “direção preferencial” de movimento.
Passo 5
(d) Três equações de autovalor em mecânica quântica são:
que expressa que
é estado estacionário de energia
.
que define autofunções da quantidade de movimento com valor próprio
.
que dá a quantização do momento angular total, com número quântico
.
Em cada caso, medir a grandeza associada a um operador num estado autofuncional garante obter o autovalor correspondente.
Em cada caso, medir a grandeza associada a um operador
Resposta
(a) A densidade quântica
oscila em torno da curva clássica
; em altas energias a média quântica tende à clássica.
(b)
(c)
(d) Exemplos de equações de autovalor:
(estados de energia),
(autovalores de momento),
(quantização do momento angular).
(b)
(c)
(d) Exemplos de equações de autovalor: