1. (a) Para um poço de potencial infinito, faça o gráfico da P(x) para n=10, depois trace a curva de probabilidade clássica de encontrar a partícula. Explique a relação entre as curvas.
    (b) Um poço de potencial infinito esta definido entre x=-a e x=+b, com a<b. Qual é o valor esperado \langle x\rangle=\bar{x} para o estado fundamental. Encontre esse valor, fazendo uma análise qualitativa.
    (c) Para o caso anterior, qual é o <p> para o estado fundamental? Explique por quê?
    (d) Escreva 3 equações de autovalores da mecânica quântica e explique o que elas significam.

Passo 1

O enunciado trata de um poço de potencial infinito e de conceitos de probabilidade quântica, valor esperado e equações de autovalor em mecânica quântica.
Em (a) vamos comparar a densidade de probabilidade quântica \,P(x)=|\psi_n(x)|^2 para n=10 com a probabilidade clássica de encontrar a partícula.
Em (b) e (c) calculamos qualitativamente os valores esperados \langle x\rangle e \langle p\rangle no estado fundamental de um poço assimétrico entre x=-a e x=+b.
Em (d) exibimos três equações de autovalor e explicamos seu significado físico.

Passo 2

(a) No poço infinito de largura L (digamos de x=0 a x=L), o estado estacionário de ordem n é
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\;\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),
logo a densidade de probabilidade é
P(x)=|\psi_n(x)|^2=\frac{2}{L}\,\sin^2\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr).
Para n=10, P(x) oscila com 10 máximos e 9 nós igualmente espaçados. A probabilidade clássica de encontrar a partícula, supondo que ela se move livremente e com velocidade constante no poço, é uniforme:
P_{\rm cl}(x)=\frac{1}{L}.
Graficamente, a curva quântica fica “ondulada” em torno de 1/L. Em altas energias ( n\gg1), as oscilações de P(x) se tornam rápidas e a média sobre muitos picos coincide com P_{\rm cl}(x) (princípio da correspondência).

Passo 3

(b) No poço infinito assimétrico de extensão total
L=a+b,
o estado fundamental tem
\psi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\;\sin\!\Bigl[\frac{\pi(x+a)}{L}\Bigr], \quad x\in[-a,b].
Como \sin^2 é simétrica em torno do ponto médio do intervalo, o centro de massa da probabilidade está em
\langle x\rangle =\frac{1}{L}\int_{-a}^{b}x\,2\sin^2\!\Bigl[\tfrac{\pi(x+a)}{L}\Bigr]dx =\frac{b-a}{2}.
Qualitativamente, a partícula “pesa” mais para o lado onde o vão é maior ( b>a), e o valor exato coincide com o ponto médio do poço em relação ao zero.

Passo 4

(c) O valor esperado do momento é
\langle p\rangle =\int_{-a}^{b}\psi_1^*(x)\,\bigl(-i\hbar\tfrac{d}{dx}\bigr)\,\psi_1(x)\,dx.
Como \psi_1(x) pode ser escolhida real e a densidade \sin^2 não conduz corrente líquida, tem-se \langle p\rangle=0. Fisicamente, o estado fundamental não tem “direção preferencial” de movimento.

Passo 5

(d) Três equações de autovalor em mecânica quântica são:
\hat H\,\psi = E\,\psi,
que expressa que \psi é estado estacionário de energia E.
\hat p\,\varphi = p\,\varphi,
que define autofunções da quantidade de movimento com valor próprio p.
\hat L^2\,Y = \hbar^2\,\ell(\ell+1)\,Y,
que dá a quantização do momento angular total, com número quântico \ell.
Em cada caso, medir a grandeza associada a um operador \hat A num estado autofuncional garante obter o autovalor correspondente.

Resposta

(a) A densidade quântica \tfrac{2}{L}\sin^2(\tfrac{10\pi x}{L}) oscila em torno da curva clássica 1/L; em altas energias a média quântica tende à clássica.
(b) \displaystyle \langle x\rangle=\frac{b-a}{2}.
(c) \displaystyle \langle p\rangle=0.
(d) Exemplos de equações de autovalor:
\hat H\psi=E\psi (estados de energia),
\hat p\varphi=p\varphi (autovalores de momento),
\hat L^2Y=\hbar^2\ell(\ell+1)Y (quantização do momento angular).

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