Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre 0 \leq x<a. Para t=0 a função de onda do sistema é: \psi(x, 0)=C_{1} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{a}\right)+C_{2} \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi x}{a}\right),
onde C_{1} e C_{2} são constates de normalização.
(a) Explique que significa essa função de onda.
(b) Encontre a função de onda para o tempo t.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula quântica num poço infinito unidimensional de largura a, com fronteiras em x=0 e x=a. Em t=0 a função de onda é dada pela combinação linear
\psi(x,0)=C_{1}\,\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)+C_{2}\,\sin\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right),
ou seja, uma superposição dos dois primeiros autoestados de energia do poço. Para resolver, vamos usar o princípio de superposição de soluções da equação de Schrödinger independente do tempo e conhecer as energias e autofunções do poço infinito.

Passo 2

A expressão em t=0 significa que a partícula não está em um único nível de energia, mas com probabilidade \lvert C_{1}\rvert^{2} está no estado fundamental ( n=1) e com probabilidade \lvert C_{2}\rvert^{2} está no primeiro excitado ( n=2). Como \{\sin(n\pi x/a)\} são ortonormais, a normalização exige
\int_{0}^{a}\lvert\psi(x,0)\rvert^{2}dx =\lvert C_{1}\rvert^{2}+\lvert C_{2}\rvert^{2}=1.

Passo 3

Cada autofunção \sin(n\pi x/a) evolui no tempo apenas por um fator de fase \exp(-\tfrac{iE_{n}t}{\hbar}), onde as energias são
E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m a^{2}}\,,\quad n=1,2.
Logo, a solução geral em tempo t é
\psi(x,t) =C_{1}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr)\,e^{-\frac{iE_{1}t}{\hbar}} +C_{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr)\,e^{-\frac{iE_{2}t}{\hbar}}.

Resposta

\psi(x,t) =C_{1}\,\sin\!\Bigl(\frac{\pi x}{a}\Bigr)\exp\Bigl(-\frac{i\pi^{2}\hbar\,t}{2m a^{2}}\Bigr) +C_{2}\,\sin\!\Bigl(\frac{2\pi x}{a}\Bigr)\exp\Bigl(-\frac{2^{2}\pi^{2}\hbar\,t}{2m a^{2}}\Bigr),
com \lvert C_{1}\rvert^{2}+\lvert C_{2}\rvert^{2}=1.

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