Seja uma esfera de raio R e massa ( M+m ), com momento de inércia dado por I_{\mathrm{ES}}=\frac{2}{5}(M+m) R^{2}. Agora, seja outro corpo C com massa ( M+m ), formado pela composição de um cilindro maciço de raio r, e um anel de raio R. O momento de inércia desse corpo C é dado por I_{C}=\frac{1}{2} M r^{2}+m R^{2}. Se R=2 r, qual deve ser a condição imposta para M / m de tal forma que, ao liberarmos do repouso a esfera e o corpo C em um plano inclinado da mesma altura, o corpo C chegue primeiro ao ponto mais baixo do plano inclinado. Dica: para que o corpo C seja mais rápido que a esfera ao rolar pelo plano inclinado, é necessário que I_{C}<I_{\mathrm{ES}}. Usando essa desigualdade, determine a condição para M / m.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • Esfera de raio R e massa total (M+m).
  • Momento de inércia da esfera: I_{\mathrm{ES}}=\frac{2}{5}(M+m)R^{2}.
  • Corpo C composto por um cilindro maciço (massa M, raio r) mais um anel (massa m, raio R).
  • Momento de inércia do corpo C: I_{C}=\frac{1}{2}M r^{2}+m R^{2}.
  • Relação geométrica dada: R=2r.
  • Objetivo pedido: determinar a condição sobre \dfrac{M}{m} tal que, ao serem liberados do repouso numa mesma rampa inclinada (mesma altura e mesmo raio de contato R), o corpo C chegue primeiro ao ponto mais baixo.
  • Dica do enunciado: para que C seja mais rápido que a esfera é necessário que I_{C}<I_{\mathrm{ES}}.
O próximo passo é usar essa desigualdade e encontrar a condição em termos de \dfrac{M}{m}.

Passo 2

Por que comparar momentos de inércia? Uma explicação curta e prática (passo-a-passo físico-matemático):
  • Considere um corpo rígido que rola sem deslizar por uma rampa inclinada com ângulo \theta. Seja M_{\text{tot}} a massa total do corpo, I seu momento de inércia em torno do centro e R_{\text{cont}} o raio de contato com a rampa. As forças na direção do plano são: peso component M_{\text{tot}} g\sin\theta para baixo do plano e força de atrito estático f para cima do plano (essa força produz o torque que faz o corpo girar).
  • Equações de movimento (translação e rotação): M_{\text{tot}} g\sin\theta - f = M_{\text{tot}} a,
f\,R_{\text{cont}} = I\,\alpha,
e pela condição de não deslizamento \alpha = \dfrac{a}{R_{\text{cont}}}.
  • Substituindo \alpha na equação do torque: f\,R_{\text{cont}} = I\,\frac{a}{R_{\text{cont}}}\quad\Rightarrow\quad f=\frac{I}{R_{\text{cont}}^{2}}\,a.
  • Substituindo f na equação de translação: M_{\text{tot}} g\sin\theta - \frac{I}{R_{\text{cont}}^{2}}\,a = M_{\text{tot}} a.Isolando a: a = \frac{M_{\text{tot}} g\sin\theta}{M_{\text{tot}} + \dfrac{I}{R_{\text{cont}}^{2}}} = \frac{g\sin\theta}{1 + \dfrac{I}{M_{\text{tot}}R_{\text{cont}}^{2}}}.
  • Conclusão prática: para dois corpos com mesma massa total M_{\text{tot}}, mesmo raio de contato R_{\text{cont}} e mesma inclinação, o que tiver menor razão \dfrac{I}{M_{\text{tot}}R_{\text{cont}}^{2}} (ou simplesmente menor I, se M_{\text{tot}} e R_{\text{cont}} são iguais) terá maior aceleração e chegará primeiro. Por isso a condição I_{C}<I_{\mathrm{ES}} é o que precisamos.
No nosso problema ambos têm massa total (M+m) e raio de contato igual a R (o corpo C tem anel externo de raio R que determina o rolamento). Logo comparar I_C e I_{\mathrm{ES}} é correto.

Passo 3

Aplicar a condição I_{C}<I_{\mathrm{ES}} substituindo as fórmulas dadas e usando R=2r.
Primeiro expressar I_C em função de R. Como R=2r, temos r=\dfrac{R}{2}. Então
\frac{1}{2}M r^{2} = \frac{1}{2}M\left(\frac{R}{2}\right)^{2} = \frac{1}{2}M\cdot\frac{R^{2}}{4} = \frac{M R^{2}}{8}.
Portanto
I_{C}=\frac{M R^{2}}{8}+m R^{2}=R^{2}\!\left(\frac{M}{8}+m\right).
E o momento da esfera é
I_{\mathrm{ES}}=\frac{2}{5}(M+m)R^{2}=R^{2}\!\left(\frac{2}{5}(M+m)\right).
A desigualdade I_{C}<I_{\mathrm{ES}} divide por R^{2}>0 (podemos fazer isso sem alterar o sentido) e vira:
\frac{M}{8}+m<\frac{2}{5}(M+m).

Passo 4

Resolver a desigualdade acima para \dfrac{M}{m}.
Divida ambos os termos por m>0 e introduza x=\dfrac{M}{m}. Então a desigualdade fica
\frac{x}{8}+1<\frac{2}{5}(x+1).
Para eliminar denominadores, multiplica-se por 40 (positiva):
40\!\left(\frac{x}{8}+1\right) < 40\!\left(\frac{2}{5}(x+1)\right).
Calculando os dois lados:
5x + 40 < 16(x+1).
Desenvolvendo:
5x + 40 < 16x + 16.
Isolando x:
40-16 < 16x-5x \quad\Rightarrow\quad 24 < 11x.
Portanto
x > \frac{24}{11}.
Voltando à notação original,
\frac{M}{m}>\frac{24}{11}.

Passo 5

Interpretação prática e número aproximado:
  • A condição significa que o cilindro (massa M) deve ser, em comparação com a massa do anel m, maior que \dfrac{24}{11}\approx 2{,}1818. Ou seja, M precisa ser mais de aproximadamente 2{,}18 vezes m para que o corpo C tenha momento de inércia menor que o da esfera e, portanto, acelere mais e chegue primeiro ao pé da rampa.
  • Observação conceitual: isso faz sentido — aumentar a massa concentrada no cilindro interno (menor raio) reduz o termo de inércia efetivo comparado a concentrar massa no anel externo (maior raio). Aqui o equilíbrio entre as massas dá a razão encontrada.

Resposta

\dfrac{M}{m}>\dfrac{24}{11}

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