Seja uma esfera de raio
e massa (
), com momento de inércia dado por
. Agora, seja outro corpo
com massa (
), formado pela composição de um cilindro maciço de raio
, e um anel de raio
. O momento de inércia desse corpo
é dado por
. Se
, qual deve ser a condição imposta para
de tal forma que, ao liberarmos do repouso a esfera e o corpo
em um plano inclinado da mesma altura, o corpo
chegue primeiro ao ponto mais baixo do plano inclinado. Dica: para que o corpo
seja mais rápido que a esfera ao rolar pelo plano inclinado, é necessário que
. Usando essa desigualdade, determine a condição para
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
- Esfera de raio
e massa total . - Momento de inércia da esfera:
- Corpo
composto por um cilindro maciço (massa , raio ) mais um anel (massa , raio ). - Momento de inércia do corpo
: - Relação geométrica dada:
. - Objetivo pedido: determinar a condição sobre
tal que, ao serem liberados do repouso numa mesma rampa inclinada (mesma altura e mesmo raio de contato ), o corpo chegue primeiro ao ponto mais baixo. - Dica do enunciado: para que
seja mais rápido que a esfera é necessário que .
O próximo passo é usar essa desigualdade e encontrar a condição em termos de
.
Passo 2
Por que comparar momentos de inércia? Uma explicação curta e prática (passo-a-passo físico-matemático):
- Considere um corpo rígido que rola sem deslizar por uma rampa inclinada com ângulo
. Seja a massa total do corpo, seu momento de inércia em torno do centro e o raio de contato com a rampa. As forças na direção do plano são: peso component para baixo do plano e força de atrito estático para cima do plano (essa força produz o torque que faz o corpo girar). - Equações de movimento (translação e rotação):
e pela condição de não deslizamento
.
- Substituindo
na equação do torque: - Substituindo
na equação de translação: Isolando : - Conclusão prática: para dois corpos com mesma massa total
, mesmo raio de contato e mesma inclinação, o que tiver menor razão (ou simplesmente menor , se e são iguais) terá maior aceleração e chegará primeiro. Por isso a condição é o que precisamos.
No nosso problema ambos têm massa total
e raio de contato igual a
(o corpo
tem anel externo de raio
que determina o rolamento). Logo comparar
e
é correto.
Passo 3
Aplicar a condição
substituindo as fórmulas dadas e usando
.
Primeiro expressar
em função de
. Como
, temos
. Então
Portanto
E o momento da esfera é
A desigualdade
divide por
(podemos fazer isso sem alterar o sentido) e vira:
Passo 4
Resolver a desigualdade acima para
.
Divida ambos os termos por
e introduza
. Então a desigualdade fica
Para eliminar denominadores, multiplica-se por
(positiva):
Calculando os dois lados:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Portanto
Voltando à notação original,
Passo 5
Interpretação prática e número aproximado:
- A condição significa que o cilindro (massa
) deve ser, em comparação com a massa do anel , maior que . Ou seja, precisa ser mais de aproximadamente vezes para que o corpo tenha momento de inércia menor que o da esfera e, portanto, acelere mais e chegue primeiro ao pé da rampa. - Observação conceitual: isso faz sentido — aumentar a massa concentrada no cilindro interno (menor raio) reduz o termo de inércia efetivo comparado a concentrar massa no anel externo (maior raio). Aqui o equilíbrio entre as massas dá a razão encontrada.