Questão 6: Suponha que a função
represente uma distribuição de temperatura no plano. Considere a placa
dada pelo conjunto
Determine o ponto da placa de menor temperatura.
Passo 1
O enunciado dá a função
no plano e define a placa
Queremos o ponto de
onde a temperatura é mínima. Como
minimizar
é o mesmo que maximizar
dentro de
.
Passo 2
As restrições que definem
são:
-
e (primeiro quadrante), -
(acima da reta ), -
(abaixo da reta ).
Como é interseção de semiespaços lineares,
é um polígono convexo; seu vértice de maior distância à origem dará a temperatura mínima.
Passo 3
Encontramos os vértices resolvendo as interseções das retas:
– Interseção de
com
:
– Interseção de
com
:
– Interseção de
com
em
.
Portanto, os vértices de
são
,
e
.
Passo 4
Calculamos
para cada vértice:
– Para
:
– Para
:
– Para
:
Passo 5
O maior valor de
é
, obtido em
. Logo, nesse ponto
é mínimo:
Resposta
O ponto da placa de menor temperatura é
.