Questão 6: Suponha que a função T(x, y)=4-x^{2}-y^{2} represente uma distribuição de temperatura no plano. Considere a placa P dada pelo conjunto
P=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x \geq 0, y \geq 0, y \geq x, \text { e } 2 y+x \leq 4\right\} .
Determine o ponto da placa de menor temperatura.

Passo 1

O enunciado dá a função (x,y)\mapsto T(x,y)=4 - x^2 - y^2 no plano e define a placa
P = \{(x,y)\in\mathbb R^2 \mid x\ge0,\;y\ge0,\;y\ge x,\;2y+x\le4\}.
Queremos o ponto de P onde a temperatura é mínima. Como
T(x,y)=4 - (x^2+y^2)\,,
minimizar T é o mesmo que maximizar r^2=x^2+y^2 dentro de P.

Passo 2

As restrições que definem P são:
  1. \,x\ge0 e y\ge0 (primeiro quadrante),
  2. \,y\ge x (acima da reta y=x),
  3. \,2y+x\le4 (abaixo da reta 2y+x=4).
Como é interseção de semiespaços lineares, P é um polígono convexo; seu vértice de maior distância à origem dará a temperatura mínima.

Passo 3

Encontramos os vértices resolvendo as interseções das retas:
– Interseção de y=x com 2y+x=4:
y=x,\quad 2y+x=4 \quad\Longrightarrow\quad 3x=4 \quad\Longrightarrow\quad (x,y)=\Bigl(\tfrac43,\tfrac43\Bigr).
– Interseção de x=0 com 2y+x=4:
x=0,\quad 2y=4 \quad\Longrightarrow\quad y=2 \quad\Longrightarrow\quad (x,y)=(0,2).
– Interseção de x=0 com y=x em (0,0).
Portanto, os vértices de P são (0,0), \bigl(\tfrac43,\tfrac43\bigr) e (0,2).

Passo 4

Calculamos r^2=x^2+y^2 para cada vértice:
– Para (0,0):
r^2 = 0^2 + 0^2 = 0.
– Para \bigl(\tfrac43,\tfrac43\bigr):
r^2 = \Bigl(\tfrac43\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac43\Bigr)^2 = \tfrac{16}{9} + \tfrac{16}{9} = \tfrac{32}{9}\approx3{,}56.
– Para (0,2):
r^2 = 0^2 + 2^2 = 4.

Passo 5

O maior valor de r^2 é 4, obtido em (0,2). Logo, nesse ponto T é mínimo:
T(0,2)=4-0^2-2^2=0.

Resposta

O ponto da placa de menor temperatura é (0,2).

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