Um oscilador harmónico quântico unidimensional (cuja energia do estado fundamental é hbar omega2 ) está em equilibrio térmico com um reservatório de calor à temperatura T.
Determine a energia média do oscilador lang<= Erang<= como função da temperatura T.
Informações relevantes:
l Gamma(t+1)=integral0^infty z^t cdot exp (-z) cdot d z=t cdot Gamma(t) wed>= Gamma(t+n)=(t+n-1) cdot(t+n-2) ldots(t+1) cdot t cdot Gamma(t) onde n é um n positivo Se n^circ t=1 , Gamma(n+1)=n!=n cdot(n-1) (n-2) ldots 1 cdot Gamma(1) ; Gamma(12)=raizpi integral0^infty x^3 cdot exp (-a cdot x^2) cdot d x=12 cdot a^2 wed>= integral0^infty x^4 cdot exp (-a cdot x^2) cdot d x=38 a^2 raizpia integral0^infty z^2 cdot d ze^z-1=2,41 ; integral0^infty z^3 cdot d ze^z-1=pi^415 ; me=9,11 times 10^-31 kg=0,511 MeV / C^2 kB=1.38 times 10^-23 J / K=8.62 times 10^-5 eV / K ; h=6.63 times 10^-34 J s=4,136 times 10^-15 eV s ; gB E=8 pi cdot E^2(h c)^3 wed>= gF D=8 cdot raiz2 cdot pi cdot me 32h^3 cdot E^12 ; h2 pi=1.055 times 10^-34 Js=6.582 times 10^-16 eV cdot s rhoA l=2.7 gcm^3, muA l=26.98 gmol, E=h^22 me(3 N8 pi V)^23, NA=6.02 times 10^23 particulas mol , integral0^infty x^p d xe^x-1=Gamma(p+1) zeta(p+1) ; cosh varphi=e^varphi+e^-varphi2, Senh varphi=e^varphi-e^-varphi2 ; sumn=0^infty exp (-n beta hbar omega)=1+exp (-beta hbar omega)+exp (-2 beta hbar omega)+exp (-3 beta hbar omega)+cdots =11-exp (-beta hbar omega) é

Passo 1

Resumo da questão: a gente tem um oscilador harmônico quântico 1D cujo estado de energia está dado por
En = hbar omegal(n + tfrac12r),, n=0,1,2,dots
Ele está em equilíbrio térmico a temperatura . A gente precisa achar a energia média em função de .
Conteúdo envolvido: estatística quântica (ensemble canônico), conceito de função de partição , média de energia via derivada de . Vamos usar também a soma de uma série geométrica
.

Passo 2

Definindo Z ;=; sumn=0^infty e^-beta En ;=;sumn=0^infty exp!l[-betahbaromega(n+tfrac12)r] ;=;e^-betahbaromega/2,sumn=0^infty l(e^-betahbaromegar)^n , a função de partição canônica é
Aqui a ideia é: soma todas as contribuições . Como cresce linearmente em , dá pra usar série geométrica.

Passo 3

Aplicando a soma geométrica
sumn=0^infty r^n = 11-rpara |r|<1,
com Z = e^-betahbaromega/2,11 - e^-betahbaromega , obtemos
Pronto, essa é a nossa função de partição.

Passo 4

Na estatística canônica a energia média é
lang<= Erang<= ;=; -partialpartial betaln Z
Vamos calcular ln Z = -betahbaromega2 ;-;lnl(1 - e^-betahbaromegar) :
-partialpartialbetaln Z = -l(-hbaromega2r) ;-;l(-11-e^-betahbaromegacdot(-hbaromega)e^-betahbaromegar)
Derivando em lang<= Erang<= = hbaromega2 + hbaromega,e^-betahbaromega1 - e^-betahbaromega = hbaromega2 + hbaromegae^betahbaromega-1 :
Isso dá

Resposta

boxed lang<= Erang<= (T) = hbaromega2 + hbaromegaexp!l(hbaromegakB Tr) - 1 ,

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