Um oscilador harmónico quântico unidimensional (cuja energia do estado fundamental é
) está em equilibrio térmico com um reservatório de calor à temperatura
.
Determine a energia média do oscilador
como função da temperatura
.
Informações relevantes:
Determine a energia média do oscilador
Informações relevantes:
Passo 1
Resumo da questão: a gente tem um oscilador harmônico quântico 1D cujo estado de energia está dado por
Ele está em equilíbrio térmico a temperatura
. A gente precisa achar a energia média
em função de
.
Conteúdo envolvido: estatística quântica (ensemble canônico), conceito de função de partição , média de energia via derivada de
. Vamos usar também a soma de uma série geométrica
.
Conteúdo envolvido: estatística quântica (ensemble canônico), conceito de função de partição
Passo 2
Definindo
, a função de partição canônica é
Aqui a ideia é:
soma todas as contribuições
. Como
cresce linearmente em
, dá pra usar série geométrica.
Passo 3
Aplicando a soma geométrica
com
, obtemos
Pronto, essa é a nossa função de partição.
Passo 4
Na estatística canônica a energia média é
Vamos calcular
:
Derivando em
:
Isso dá